welche ansätze bei partialbruchzerlegung

Question

ich schaue mir gerade ein paar Videos zur Partialbruchzerlegung an.

Beispiel 1:

f(x) = (x+1) / ((x-3)*(x-1))

Ansatz zur PPZ:

f(x) = A / (x-1) + B / (x-3)

Beispiel 2:

f(x) = (x²+x+1) / ((x-1)³*(x-2))

f(x) = A /(x-1) + B /(x-1)² + C /(x-1)³ + D /(x-2)

Warum kann man nicht direkt die ersten drei Summanden zu A /(x-1)³ zusammenfassen?

Beispiel 3:

f(x) = (x+1) / ((x-1)² + (x²+1)³)

f(x) = A /(x-1) + B /(x-1)² + (C*x+D) / (x²+1) + (E*x+F) / (x²+1)² + (G*x+H) / (x²+1)³

Warum hat man hier im Nenner lineare Funktion bei den letzten drei Summanden?

Vielleicht kann mir jemand kurz die Basics, die dahinter stecken, kurz darstellen.

LG

Answer 1

Warum kann man nicht direkt die ersten drei Summanden zu A /(x-1)³ zusammenfassen?

Du müsstest die Brüche addieren um sie auf den hauptnenner zu bringen. Dadurch bekommst du im Zähler aber wieder ein x, welches du ja eigentlich wegbekommen möchtest.

Benutze die Webseite 

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

um dir eine Partialbruchzerlegung machen zu lassen.

x^2 + 1 kannst du nicht in linearfaktoren zerlegen weshalb im Zähler damit leider ein Linearer ansatz übriig bleiben muss.

Lies dazu auch die Grundlagen in deinem Mathebuch oder Wikipedia durch

https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

Comments

Ja, aber z. B. den ersten Bruch A / (x-1) muss ich doch auch auf den gemeinsamen Hauptnenner (x-1)³*(x-2) bringen, also sowohl Nenner als auch Zähler mit (x-2)² *(x-2) erweitern.

Dann habe ich doch im Zähler auch nur ein Polynom wegbekommen oder?

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Wenn wir den Ansatz mal auf einen Bruch bringen haben wir

a/(x - 1) + b/(x - 1)^2 + c/(x - 1)^3 + d/(x - 2)

= (x^3·(a + d) - x^2·(4·a - b + 3·d) + x·(5·a - 3·b + c + 3·d) - 2·a + 2·b - 2·c - d) / ((x - 2)·(x - 1)^3)

Und damit können wir im Zähler ein Polynom dritten grades darstellen.

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Alles klar.

Die ersten beiden sich aus der Partialbruchzerlegung ergebenden Brüche sind ja einfach zu integrieren.

Der dritte aber ergibt als Lösung

(5x+3) / (x²+1)

Wie kann man das jetzt wieder integrieren? Wenn ich das bei der Seite eingebe wo du mir gegeben hast komme ich wieder auf die gleiche Partialbruchzerlegung.

Wie gehe ich also diesen Term jetzt an?

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Hat sich erledigt. Danke für deine Antwort!