a und b bestimmen, sodass sich Graph und Parabel an einem Punkt berühren

Question

Hier die Aufgabe:

Ich benötige Hilfe bei der Aufgabe b. Für die Aufgabe brauche ich den Graphen f und die Parabel.
Soweit ich weiß, soll ich für den Graphen von f die Lösung aus dem a)-Teil übernehmen, das wäre dann:

f'(x) = (ln(x)+1) * x^x

Und die Parabel:

g'(x) = 2ax+b

Dann müsste ich wohl beide Ableitungen gleichstellen, also:

g'(x) = f'(x)

(ln(x)+1) * x^x = 2ax+b

Wie geht es dann weiter, falls das überhaupt richtig war?

Answer 1

Du kennst ja den Punkt, also

f ' (1) = g ' (1)   und  f(1) = g(1)

1= 2a+b            und  1 = a+b+1

und damit a und b ausrechnen.

Answer 2

f(x) = x^x

f'(x) = x^x·(LN(x) + 1)

f'(1) = 1

g(x) = a·x^2 + b·x + 1

g(1) = 1 --> a + b + 1 = 1

g'(1) = 1 --> 2·a + b = 1

Löse das Gleichungssystem und erhalte a = 1 ∧ b = -1

g(x) = x^2 - x + 1

Skizze

~plot~x^x;x^2-x+1;[[0|2|0|2]]~plot~

Comments

Hi,

Schneiden sich die beiden Graphen nicht?

Ich komme spontan auf g(x)=-x^2+3x-1

Gruß

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Ja die Graphen schneiden sich.

Deswegen ist wohl in der Aufgabe auch der Hinweis "gemeinsame Tangente!" gegeben.

Deine Funktion erfüllt doch nicht die allgemeine Form

y = ax^2 + bx + 1

An die Vorgabe musst du dich auch halten.

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Stimmt, das war ein unnötiger Fehler meinerseits -.-
Mir war seit gerade nur noch nicht die richtige Definition eines Berührpunktes geläufig. Ich ging davon aus, die Graphen dürften sich in einem solchen Punkt nicht "überkreuzen" ... aber das dürfen sie scheinbar doch. 
Wieder was gelernt ^^

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Zugegeben dachte ich auch immer, dass sich im Berührpunkt die Graphen nicht schneiden dürfen. Aber man lernt ja immer wieder dazu.

https://de.wikipedia.org/wiki/Ber%C3%BChrung_(Mathematik)

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Die Definitionen in aller Kürze

f ( x ) = x^3
g ( x ) = 0  ( x -Achse )

Schnittpunkt
f ( x ) = g ( x )
f ( 0 ) = g ( 0 )
Schnittpunkt oder Berührpunkt 0 -ter Ordnung ( mathematisch )

f ´( x ) = 3 * x^2
g ´ ( x ) = 0

Berührpunkt
f ( x ) = g ( x )
f ´( x ) = g ´ ( x )
f ´( 0 ) = g ´( 0 )
Berührpunkt oder  Berührpunkt 1 -ter Ordnung ( mathematisch )

f ´´ ( x ) = 6 * x
g  ´´ ( x ) = 0

f ( x ) = g ( x )
f ´( x ) = g ´ ( x )
f ´´ ( x ) = g ´´ ( x )
f ´´ ( 0 ) = g ´´ ( 0 )
Berührpunkt 2 -ter Ordnung ( mathematisch )