Hi,
deine Funktion f muss folgendes erfüllen:
Symmetrie zum Ursprung: f(x)=−f(−x) (1)
Genau drei Nullstellen: f(x)=(x−a)⋅(x−b)⋅(x−c) mit a,b,c∈R mit a=b=c=a (2)
Es muss f(0)=0 gelten, damit die Funktion symmetrisch zum Ursprung sein kann.
Mit (2) erhalten wir: 0=f(0)=−a⋅b⋅c
Also muss a,b, oder c gleich 0 sein. O.B.d.A. sei dies a.
Somit erhalten wir: f(x)=x⋅(x−b)⋅(x−c)
Nun muss wegen der Symmetrie 0=f(−b)=(−b)⋅(−b−b)⋅(−b−c) gelten.
Hieraus folgt: c=−b und somit f(x)=x⋅(x−b)⋅(x+b)=x⋅(x2−b2).
Alternativer Weg:
Wir gehen von f(x)=x⋅(x−b)⋅(x−c) aus.
Nun muss wegen (1) gelten: x⋅(x−b)⋅(x−c)=f(x)=−f(−x)=−(−x⋅(−x−b)⋅(−x−c)=x⋅(x+b)⋅(x+c))
Wir erhalten: x⋅[(x−b)⋅(x−c)−(x+b)⋅(x+c)]=0
Hieraus erhalten wir c=−b und somit f(x)=x⋅(x−b)⋅(x+b)=x⋅(x2−b2).
Beispiele:
Wählst du b=1, so erhältst du: f(x)=x⋅(x2−12)=x3−x
Wählst du b=2, so erhältst du: f(x)=x⋅(x2−22)=x3−4x
Edit: Gerade noch bei der Antwort von -Wolfgang- gesehen, dass ich vergessen habe, dass man noch eine Konstante K multiplizieren darf.
Also sieht deine Funktion so aus: f(x)=K⋅x⋅(x2−b2)