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Kann mir jemand erklären wie man auf so einen Graphen kommt?


In den Lösungen steht zum Beispeil  f(x) = x3-x

Aber wie kommt man darauf? 

!

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Was sind denn die gewünschten Eigenschaften?

Ohh habe ich ganz vergesse, danke!

Die Eigenschaft ist:

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt genau drei Nullstellen.

3 Antworten

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Hallo Julia,

da man für die Funktion die freie Wahl hat, nimmt man am einfachsten eine Polynomfunktion:

f(x) = a * (x - x1) * (x - x2) * (x - x3    mit verschiedenen xk 

Jetzt kann man sich a, x1 , x2 und  x3   so aussuchen, dass die Nullstellen symmetrisch zum Ursprung liegen.

Mit a=1 ,  x1 = 0 , x2,3 = ± 1  erhältst du z.B. (!)

 f(x)  =  x * (x+1) * (x-1)  =  x * (x2 - 1)  =  x- x

Gruß Wolfgang

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Hi,

deine Funktion ff muss folgendes erfüllen:

Symmetrie zum Ursprung: f(x)=f(x)f(x)=-f(-x) (1)

Genau drei Nullstellen: f(x)=(xa)(xb)(xc)f(x)=(x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) mit a,b,cR mit abcaa,b, c \in \mathbb{R}\ \text{mit} \ a \neq b \neq c \neq a (2)

Es muss f(0)=0f(0)=0 gelten, damit die Funktion symmetrisch zum Ursprung sein kann.

Mit (2) erhalten wir: 0=f(0)=abc0=f(0)=-a \cdot b \cdot c

Also muss a,b, oder c gleich 0 sein. O.B.d.A. sei dies a.

Somit erhalten wir: f(x)=x(xb)(xc)f(x)=x \cdot (x-b) \cdot (x-c)

Nun muss wegen der Symmetrie 0=f(b)=(b)(bb)(bc)0=f(-b)=(-b) \cdot (-b-b) \cdot (-b-c) gelten.

Hieraus folgt: c=bc=-b und somit f(x)=x(xb)(x+b)=x(x2b2)f(x)=x \cdot (x-b) \cdot (x+b)= x \cdot (x^2-b^2) .

Alternativer Weg:

Wir gehen von f(x)=x(xb)(xc)f(x)=x \cdot (x-b) \cdot (x-c) aus.

Nun muss wegen (1) gelten: x(xb)(xc)=f(x)=f(x)=(x(xb)(xc)=x(x+b)(x+c)) x \cdot (x-b) \cdot (x-c) =f(x)=-f(-x)=-(-x \cdot (-x-b) \cdot (-x-c) = x \cdot (x+b) \cdot (x+c))

Wir erhalten: x[(xb)(xc)(x+b)(x+c)]=0x \cdot [(x-b) \cdot (x-c)-(x+b) \cdot (x+c)]=0

Hieraus erhalten wir c=bc=-b und somit f(x)=x(xb)(x+b)=x(x2b2)f(x)=x \cdot (x-b) \cdot (x+b)= x \cdot (x^2-b^2) .

Beispiele:

Wählst du b=1, so erhältst du: f(x)=x(x212)=x3xf(x)=x \cdot (x^2-1^2)=x^3-x

Wählst du b=2, so erhältst du: f(x)=x(x222)=x34xf(x)=x \cdot (x^2-2^2)=x^3-4x

Edit: Gerade noch bei der Antwort von -Wolfgang- gesehen, dass ich vergessen habe, dass man noch eine Konstante KK multiplizieren darf.

Also sieht deine Funktion so aus: f(x)=Kx(x2b2)f(x)=K \cdot x \cdot (x^2-b^2)

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f muss folgendes erfüllen:
Genau drei Nullstellen: f(x)=(x−a)⋅(x−b)⋅(x−c)

Von "einfach" steht nichts in der Aufgabe.

Ok, korrekt.

Dann eben, dass jede Funktion mit den gewünschten Eigenschaften vom Grad 3 so ausschauen muss.

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Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung
und besitzt genau drei Nullstellen.

Man kann das Pferd auch von hinten aufzäumen.

Polynomfunktionen
1.Grades : max 1 Nullstelle
2.Grades : max 2 Nullstellen
3.Grades : max 3 Nullstellen

Die Standardfunktion wäre zunächst
f ( x ) = ax^3 + bx2 + cx + d
Punktsysmmetrisch zum Ursprung. Es entfallen
f ( x ) = ax^3 + cx
noch einfacher
f ( x ) = x3 + x
Aufdröseln
f ( x ) = x * ( x2 + 1 )
Den Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
x2 + 1 = 0
Dies geht nicht weil eine Qudratzahl immer
größer / gleich null ist.
Wir wollen erreichen
x2 ? 1 = 0
Also
x2 - 1 = 0
Hier gibt es die Lösungen
x = 1
und
x = -1

Zusammen
f ( x ) = x * ( x + 1 ) * ( x -1 )

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