Geben Sie einen Funktionsterm für f an , sodass der Graph die gewünschten Eigenschaften besitzt

Question

Kann mir jemand erklären wie man auf so einen Graphen kommt?

In den Lösungen steht zum Beispeil  f(x) = x^3-x

Aber wie kommt man darauf? 

!

Comments

Was sind denn die gewünschten Eigenschaften?

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Ohh habe ich ganz vergesse, danke!

Die Eigenschaft ist:

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt genau drei Nullstellen.

Answer 1

Hallo Julia,

da man für die Funktion die freie Wahl hat, nimmt man am einfachsten eine Polynomfunktion:

f(x) = a * (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₃)     mit verschiedenen x_k 

Jetzt kann man sich a, x₁ , x₂ und  x₃   so aussuchen, dass die Nullstellen symmetrisch zum Ursprung liegen.

Mit a=1 ,  x₁ = 0 , x_2,3 = ± 1  erhältst du z.B. (!)

 f(x)  =  x * (x+1) * (x-1)  =  x * (x² - 1)  =  x³ - x

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hi,

deine Funktion \(f\) muss folgendes erfüllen:

Symmetrie zum Ursprung: \(f(x)=-f(-x)\) (1)

Genau drei Nullstellen: \(f(x)=(x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \) mit \(a,b, c \in \mathbb{R}\ \text{mit} \ a \neq b \neq c \neq a\) (2)

Es muss \(f(0)=0\) gelten, damit die Funktion symmetrisch zum Ursprung sein kann.

Mit (2) erhalten wir: \(0=f(0)=-a \cdot b \cdot c\)

Also muss a,b, oder c gleich 0 sein. O.B.d.A. sei dies a.

Somit erhalten wir: \(f(x)=x \cdot (x-b) \cdot (x-c)\)

Nun muss wegen der Symmetrie \(0=f(-b)=(-b) \cdot (-b-b) \cdot (-b-c)\) gelten.

Hieraus folgt: \(c=-b\) und somit \(f(x)=x \cdot (x-b) \cdot (x+b)= x \cdot (x^2-b^2) \).

Alternativer Weg:

Wir gehen von \(f(x)=x \cdot (x-b) \cdot (x-c)\) aus.

Nun muss wegen (1) gelten: \( x \cdot (x-b) \cdot (x-c) =f(x)=-f(-x)=-(-x \cdot (-x-b) \cdot (-x-c) = x \cdot (x+b) \cdot (x+c))\)

Wir erhalten: \(x \cdot [(x-b) \cdot (x-c)-(x+b) \cdot (x+c)]=0\)

Hieraus erhalten wir \(c=-b\) und somit \(f(x)=x \cdot (x-b) \cdot (x+b)= x \cdot (x^2-b^2) \).

Beispiele:

Wählst du b=1, so erhältst du: \(f(x)=x \cdot (x^2-1^2)=x^3-x\)

Wählst du b=2, so erhältst du: \(f(x)=x \cdot (x^2-2^2)=x^3-4x\)

Edit: Gerade noch bei der Antwort von -Wolfgang- gesehen, dass ich vergessen habe, dass man noch eine Konstante \(K\) multiplizieren darf.

Also sieht deine Funktion so aus: \(f(x)=K \cdot x \cdot (x^2-b^2) \)

Comments

f muss folgendes erfüllen:
Genau drei Nullstellen: f(x)=(x−a)⋅(x−b)⋅(x−c)

Von "einfach" steht nichts in der Aufgabe.

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Ok, korrekt.

Dann eben, dass jede Funktion mit den gewünschten Eigenschaften vom Grad 3 so ausschauen muss.

Answer 3

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung
und besitzt genau drei Nullstellen.

Man kann das Pferd auch von hinten aufzäumen.

Polynomfunktionen
1.Grades : max 1 Nullstelle
2.Grades : max 2 Nullstellen
3.Grades : max 3 Nullstellen

Die Standardfunktion wäre zunächst
f ( x ) = a^x^3 + bx^2 + cx + d
Punktsysmmetrisch zum Ursprung. Es entfallen
f ( x ) = a^x^3 + cx
noch einfacher
f ( x ) = x^3 + x
Aufdröseln
f ( x ) = x * ( x^2 + 1 )
Den Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
x^2 + 1 = 0
Dies geht nicht weil eine Qudratzahl immer
größer / gleich null ist.
Wir wollen erreichen
x^2 ? 1 = 0
Also
x^2 - 1 = 0
Hier gibt es die Lösungen
x = 1
und
x = -1

Zusammen
f ( x ) = x * ( x + 1 ) * ( x -1 )