linearer Untervektorraum d-Tupel und Skalarprodukte... c) < z,z> = 1 + €^2

Question

Ich habe zu dieser Aufgabe schon einmal was gefragt, aber habe noch zwei e Fragen:

1. Wie komme ich bei der a) an die Basis? der zweite Vektor bringt mich da irgendwie durcheinander

2. Was muss ich in Aufgabe c) machen)

Answer 1

Das hatten wir schon mal.

Schau mal dort

https://www.mathelounge.de/339311/auf-untervektorraum-prufen

Und der 2. Vektor bei b) soll wohl nur heißen, dass die Aufgabe b) aus 2 Teilen besteht,

du sollst das einmal für a1 und dann für a2 machen.

Comments

ok, aber dann wäre doch die Basis zu a2 (0,0,0) oder?

Und wie funktioniert die c?

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Nein, wenn du a2 nimmst, dann ist die Bedingung

< a2,x> =0 also x1+x2+x3=0 und

damit das stimmt kannst du für x2, und x3 irgenswas wählen

etwa s und t und hast   x1 + s + t = 0 also

   x1 = -s - t und damit

Vektor x = (  -s -t ; s ; t ) =  s* ( -1 ; 1 ; 0 ) + t ( -1 ;0; -1 ) und

somit ist ( -1 ; 1 ; 0 ) , ( -1 ;0; -1 ) eine mögliche Basis.

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und zu c)
wähle z = a + c*x  und berechne  < z,z >  = < a + c*x  , a + c*x  >

= (nach der Def von <...> )  =  < a,a> + < a, c*x > + < a,c*x > + < c*x , c*x >
und mit dem gegebenen a gibt das
                                        =       1     + c*< a, x > + c*< a,x > + c^2 *< x , x >
und  weil x aus A^2 ist das
                             =       1     + c*0 + c*0 + c^2 *1  = 1 + c^2    q.e.d.