Trägheitsmoment Hantel berechen

Question

Ich hab folgendes Problem:

Zu berechnen ist das Trägheitsmoment einer Hantel (2 Kugeln der Masse m,die durch eine masselose Stange der länge l verbunden sind) 

a)wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt parallel zur Verbindugsstange verläuft

b)wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt senkrecht auf die Verbindungsstelle steht.

Wäre nett wenn mir das jemand vorrechnen könnte. Ich tue mir aber generell recht schwer bei solchen Volumsintegralen von Körper. Hat vielleicht jemanden einen Tipp wie man solche Sachen prinzipiell am besten angeht?

Answer 1

Vorüberlegung:

Trägheitsmoment einer Kugel:

$$ { J }_{ ab } =\int ρ(r)*(r^2*{ δ }_{ ab }-{ x }_{ a }*{ x }_{ b })dV $$

$${ J }_{ zz }=ρ*\int (x^2+y^2+z^2-z^2)dV= ρ*\int (x^2+y^2)dV=ρ\int_{0}^{2π}dφ\int_{0}^{π}dθ\int_{0}^{R}dr*r^4*sin(θ)^3=ρ*2*π*1/5R^5*\int_{0}^{π}dθ*sin(θ)^3=ρ*π*2/5R^5*4/3=ρ*2/5*R^2*V=2/5*m*R^2$$

Das Trägheitsmoment einer Kugel mit Masse m und Radius R um eine beliebige Rotationsachse durch ihren Schwerpunkt (wegen der Symmetrie) lautet also J=2/5*m*R^2 

a) J´=J₁ + J₂  = 2/5*m*R^2+2/5*m*R^2=4/5*m*R^2

b) Satz von Steiner: J₁´= J₁ + m*d^2= J₁ + m*(l/2)^2= J₁ + m*l/4=2/5*m*R^2+m*l/4

                               J₂´= J₂ + m*d^2= J₂ + m*(l/2)^2= J₂ + m*l/4=2/5*m*R^2+m*l/4

 J´= J₁´+J₂´=4/5*m*R^2+m*l/2

Comments

ok danke so weit so klar. Nur wie du sin³ integriert hast ist mir noch ein wenig ein Rätsel. Ich nehme an durch irgendwelche Winkel Identitäten aber wie genau?