Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Pyramide

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Pyramide mit Höhe h, quadratischer Grundfläche und
konstanter Dichte ρ₀ bzgl. einer Drehung um die Mittelachse

Θ_P =\( \int\limits_{0}^{h} \)dz  \( \int\limits_{-z\frac{a}{2h}}^{z\frac{a}{2h}} \)dy  \( \int\limits_{-z\frac{a}{2h}}^{z\frac{a}{2h}} \)dx (x²+y²)ρ₀

Drucken Sie Ihr Endergebnis durch die Seitenl ¨ änge a und die Masse M der Pyramide aus.

Problem/Ansatz:

ich habe da raus :

Θ_P = \( \frac{a^{2}h}{3} \) (x²+y²)

ist das richtig? wenn ja wie drücke ich das durch a und M aus?

Comments

Was hast du da gerechnet, nachdem du über x und y integriert hast, kann ja x^2+y^2 nicht mehr vorkommen.

Also integriere wirklich! dann sollte nur noch a und h und ρ vorkommen. da du die Masse auch durch a;,h und ρ ausdrücken kannst ist der zweite Teil dann leicht.

Ergebnis 1/10 *M*a^2

lul

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Dein Ansatz ist vollkommen richtig:$$J_z=\int\limits_{\small z=0}^{\small h}\;\;\;\int\limits_{\small x=-\frac{az}{2h}}^{\small\frac{az}{2h}}\;\;\;\int\limits_{\small y=-\frac{az}{2h}}^{\small\frac{az}{2h}}\rho_0\cdot(x^2+y^2)\,dx\,dy\,dz$$

Allerdings musst du dich beim Integrieren fürchterlich vertan haben, weil darin noch die Integrationsvariablen \(x\) und \(y\) auftauchen.

Die Pyramide hat die konstante Dichte$$\rho_0=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac13a^2h}=\frac{3M}{a^2h}$$Ihr Trägheitsmoment um die Hauptsymmetrie-Achse ist daher:$$J_z=\frac{3M}{a^2h}\int\limits_{\small z=0}^{\small h}\left(\;\;\;\int\limits_{\small x=-\frac{az}{2h}}^{\small\frac{az}{2h}}\left(\;\;\;\int\limits_{\small y=-\frac{az}{2h}}^{\small\frac{az}{2h}}(x^2+y^2)\,dy\right)dx\right)dz$$

Beim innersten Integral über \(dy\) nutzen wir aus, dass der Integrand bezüglich \(y\) symmetrisch ist. Wir können daher die untere Integrationsgrenze durch \(0\) ersetzen und dafür den Wert des Integrals verdoppeln:$$J_z=\frac{3M}{a^2h}\int\limits_{\small z=0}^{\small h}\left(\;\;\;\int\limits_{\small x=-\frac{az}{2h}}^{\small\frac{az}{2h}}\left(\;\;\;2\left[x^2y+\frac{y^3}{3}\right]_{\small y=0}^{\small\frac{az}{2h}}\right)dx\right)dz$$$$\phantom{J_z}=\frac{3M}{a^2h}\int\limits_{\small z=0}^{\small h}\left(\;\;\;\int\limits_{\small x=-\frac{az}{2h}}^{\small\frac{az}{2h}}\left(\frac{azx^2}{h}+\frac{a^3z^3x^3}{12h^3}\right)dx\right)dz$$

Beim Integral über \(dx\) nutzen wir die Symmetrie erneut aus. Der Term \(\frac{a^3z^3x^3}{12h^3}\) ist punktsymmetrisch in \(x\), sodass er wegen des symmetrischen Integrationsintervalls keinen Beitrag zum Integral liefert. Der Term \(\frac{azx^2}{h}\) ist dagegen achsensymmetrisch bezüglich \(x\). Wir können daher wieder die untere Integrationsgrenze Null setzen und dafür seinen Beitrag zum Integral verdoppeln.

$$J_z=\frac{3M}{a^2h}\int\limits_{\small z=0}^{\small h}2\left[\frac{azx^3}{3h}\right]_0^{\small\frac{az}{2h}}dz=\frac{3M}{a^2h}\int\limits_{\small z=0}^{\small h}\frac{a^4z^4}{12h^4}\,dz=\frac{3M}{a^2h}\cdot\frac{a^4}{12h^4}\int\limits_0^hz^4\,dz$$$$\phantom{J_z}=\frac{3M}{a^2h}\cdot\frac{a^4}{12h^4}\cdot\frac {h^5}{5}=\frac{3Ma^4h^5}{60a^2h^5}=\frac{1}{20}\,Ma^2$$