Aloha :)
An die \(y\)- und die \(z\)-Koordinate ist nur eine einzige Bedingung gestellt, nämlich:$$y^2+z^2\le x^2(2-x)^2$$Daher drängt sich die Substitution der beiden durch Polarkoordinaten geradezu auf. Als Ortsvektor \(\vec r\) zum Abtasten der Punktmenge \(F\) wählen wir daher:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad x\in[0;2]\quad;\quad r\in[0;x(2-x)]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Durch die Substitution \((y;z)\mapsto(r\,\varphi)\) wird das Flächenelment \(dy\,dz\) zu \(r\,dr\,d\varphi\) verzerrt. Das müssen wir im Volumenelement \(dV=dx\,dy\,dz=r\,dx\,dr\,d\varphi\) entsprechend berücksichtigen:
$$V=\int\limits_{x=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{x(2-x)}r\,dx\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{x=0}^2\left(\int\limits_{r=0}^{x(2-x)}r\,dr\right)dx$$$$\phantom{V}=\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\cdot\int\limits_{x=0}^2\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{x(2-x)}dx=2\pi\int\limits_0^2\frac{x^2(2-x)^2}{2}\,dx=\pi\int\limits_0^2(4x^2-4x^3+x^4)\,dx$$$$\phantom{V}=\pi\left[\frac43x^3-x^4+\frac15x^5\right]_0^2=\pi\left(\frac{32}{3}-16+\frac{32}{5}\right)=\frac{16\,\pi}{15}$$
