Aloha :)
Die Punkte der Menge$$A\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x\le0\,,\,y\le0\,,\,x^2+y^2\le4\}$$liegen alle im dritten Quadranten (beide Koordinaten negativ) eines Kreises mit Radius \((r=2)\) um den Ursprung. Wir können daher mit folgendem Ortsvektor$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$in Polarkoordinaten alle Punkte der Menge \(A\) abtasten.
Beim Übergang von kartesischen Koordinaten \((x;y)\) zu Polarkoordinaten \((r;\varphi)\) wird das Flächenelement verzerrt$$d(x;y)=dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$und zusammen mit \((x^2+y^2=r^2)\) können wir das Integral wie folgt formulieren:$$I=\int\limits_A\left(\pink{x^2}(x^2+y^2)+\pink{y^2}(x^2+y^2)\right)d(x;y)=\int\limits_A(\pink{x^2}+\pink{y^2})(x^2+y^2)\,d(x;y)$$$$\phantom I=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\pink{r^2}\,r^2\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi}_{=d(x;y)}=\int\limits_{r=0}^2r^5\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=\pi}^{\frac{3\pi}{2}}d\varphi=\left[\frac{r^6}{6}\right]_{r=0}^2\cdot\left[\varphi\right]_{\varphi=\pi}^{\frac{3\pi}{2}}=\frac{64}{6}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{16}{3}\,\pi$$
