Aloha :)
zu a) Wir legen den Mittelpunkt der Kugel in den Koordinatenursprung. Wegen der Symmetrie wählen wir die z-Achse als Rotationsachse. Die Gleichung der Kugeloberfläche lautet (Radius a):$$x^2+y^2+z^2=a^2\quad\text{bzw.}\quad r_\perp^2+z^2=a^2$$Obwohl es hier um eine Kugel geht, drängen sich zur Berechnung Zylinderkoordinaten auf:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r_\perp\,\cos\varphi\\r_\perp\,\sin\varphi\\z\end{array}\right)\quad;\quad r_\perp\in[0;\sqrt{a^2-z^2}]\;;\;\phi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[-a;a]$$Mit dem Volumelement \(dV=dx\,dy\,dz=r_\perp\,dr_\perp\,d\varphi\,dz\) lautet das gesuchte Integral:$$\Theta=\rho\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_{-a}^a dz\int\limits_0^{\sqrt{a^2-z^2}}\,r_\perp^3\,dr_\perp=2\pi\rho\int\limits_{-a}^adz\left[\frac{1}{4}\,r_\perp^4\right]_0^{\sqrt{a^2-z^2}}$$$$\phantom{\Theta}=\frac{\pi}{2}\rho\int\limits_{-a}^a(a^2-z^2)^2\,dz=\frac{\pi}{2}\rho\int\limits_{-a}^a(a^4-2a^2z^2+z^4)\,dz$$$$\phantom{\Theta}=\frac{\pi}{2}\rho\left[a^4z-\frac{2}{3}a^2z^3+\frac{z^5}{5}\right]_{-a}^a$$$$\phantom{\Theta}=\frac{\pi}{2}\rho\left[\left(a^5-\frac{2}{3}a^5+\frac{a^5}{5}\right)-\left(-a^5+\frac{2}{3}a^5-\frac{a^5}{5}\right)\right]$$$$\phantom{\Theta}=\pi\,\rho\left(\frac{15-10+3}{15}a^5\right)=\frac{8}{15}\,\pi\,\rho\,a^5$$Mit der Masse \(M=\rho\cdot V=\frac{4}{3}\pi\,a^3\,\rho\) der Kugel wird das Ergebnis etwas kürzer:$$\Theta=\frac{8}{15}\,\pi\,\rho\,a^5=\frac{2}{5}\,Ma^2$$
zu b) Hier kannst du das Integral in kartesischen Koordinaten sofort hinschreiben. Wir legen den Würfel in den ersten Oktanden und wählen die z-Achse als Rotationsachse.
$$\Theta=\rho\int\limits_0^a\int\limits_0^a\int\limits_0^a(x^2+y^2)\,dx\,dy\,dz=\frac{2}{3}\rho a^5=\frac{2}{3}Ma^2$$Wenn du noch Rückfragen hast oder ich irgendwo nicht gut erklärt habe, melde dich bitte einfach nochmal...
