Vektoren. Funktionengleichung und Punkt-Richtungsform

Question

es geht um folgende Aufgaben:

MFG

Answer 1

a)
Für die Gerade durch 2 Punkte brauchst du den Vektor von P nach Q, also deren Differenz. Um das ganze zu einer Gerade zu machen, suchst du dir irgendeinen Sützvektor, welcher einfach einer deiner beiden Punkte sein kann und schreibst noch einen Parameter von den Richtungsvektor, damit du unendlich viele Punkte treffen kannst.

$$\xrightarrow { Q } -\xrightarrow { P } =\xrightarrow { PQ } $$

$$g:=\xrightarrow { P } +\quad k\xrightarrow { PQ } $$

b)
Der Abstand zwischen Punkt und Gerade ist da am geringsten, wo der Verbindungsvektor senkrecht auf der Gerade steht, also deren Skalarprodukt 0 ist. Vielleicht hilft dir das. Bei solchen Aufgaben ist es hilfreich gewisse Punkte durch Parameter darzustellen und diese herauszufinden, so das die notwenigen Eigenschaften gegeben sind, sprich Gleichungssysteme lösen.

c)
funktioniert ähnlich wie b)

Comments

Also, dann müsste ich bei a) (4,6) - (2,2)= k * (2,4)

und damit hätte ich dann den stütz vektor?

als nächsten, g:= (2,2) + k (2,4)

damit wäre aufgabe a gelöst?

Answer 2

a)  nicht vergessen / verwechseln.

Punkt-Richtungsform

g=(PQ):  X = (2|2) + t(2|4)

X = (x|y) steht für jeden beliebigen Ortsvektor eines Punktes auf g. g ist eine Punktmenge.

(2|2) ist der Stützvektor.

(2|4) ist der Richtungsvektor. 

Vektoren oben fett sollst du mit Pfeil versehen / vertikal darstellen. 

nun fehlt dir in a) noch die Funktionengleichung von g. 

Komponentengleichungen aus der Punkt- Richtungsform:

x = 2 + 2t

y = 2 + 4t

----------------     Ziel:    t wegbringen.

2x = 4 + 4t         (I)'

y = 2 + 4t           (II)

---------------------      (I)' - (II)

2x -y = 2             . fertig. Nach Wunsch noch nach y auflösen.       | +y -2

2x - 2 = y 

f(x) = 2x -2 

Kontrolle mit Plotter.

  ~plot~2x - 2; {2|2};{4|6};[[10]]~plot~

Comments

Warum wird der Graph oben nur minimalistisch dargestellt? Test.  

~plot~2x - 2; {2|2};{4|6};[[10]]~plot~

b) Kannst du auch mit der Hesseschen Normalform lösen, wenn du die kennst. Sonst geometrisch, wie in der andern Antwort beschrieben. 

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Du hast,

x = 2 + 2t

y = 2 + 4t

----------------     Ziel:    t wegbringen.

2x = 4 + 4t         (I)'                               <- hier hast Du die Gleichung mal 2 gerechnet oder?

y = 2 + 4t           (II)

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Ja genau, damit ich das t danach mit dem Subtraktionsverfahren wegbringe.

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Kann mir jemand bei b) weiter helfen?

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Kannst du mal angeben, wie die Formeln heissen, die du inzwischen gelernt hast?

Man kann die b) ja ganz ohne Vektoren machen ( Thema: Geradengleichungen ca. 9. Klasse) .

Das dürfte aber beim Thema Vektoren nicht mehr der gewünschte Weg sein.

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Ich habe das mit Lotfußpunktverfahren gemacht und komme auf den Abstand von 0,8, passt das wohl?

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Ich mache es zur Kontrolle mal mit der Hesseschen Normalenform

2x -y = 2         | √( 2^2 + 1^2)  = √5

(2x -y)/5 = 2/√5 ≈ 0.8944  

Ich bin knapp daneben mit meiner Rechnung. Hast du richtig gerundet?

Methode (9.Klasse)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x+-y+%3D+2++,y%3D+-1%2F2x

x = 4/5, y = -2/5

d = √ (16/25  + 4/25) = √( 20/25) = √(4/5) = 2/√5 

Mein Resultat sollte somit genau sein. 

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Danke, jetzt komme ich auch auf √0,8. Ich habe vergessen die wurzel zu ziehen :D

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Ich habe c) ausgerechnet und komme auf für h:

y=-0,5x+11,5

für k habe ich das raus ist das richtig? y= -x+13

Wie muss ich dort weiter machen?

MFG

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Kontrolle für g

-0.5 * 3 + 11.5 = -1.5 + 11.5 = 10     . g geht durch R. gut.

Anmerkung zu k.

Die Winkelhalbierende des ersten Quadranten hat die Steigung m= 1 und nicht - 1.

Das musst du noch ändern.

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Ich habe dann für k: y=x+7

und als fläche bei d) 10,8 FE, passt das?

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k dürfte stimmen.

Die Fläche wäre einfacher zu prüfen, wenn du deinen Rechenweg zeigen würdest.

S(3|9), T(5.4|8.8) , R(3|10)

RS = (3 |2) ,

RT = ( 2.4 | -1.2)

Det ( RS , RT) = Det ( (3 , 2.4), (2, -1.2 ))

= -3.6 - (6 * 2.4) = -18

Fläche des Dreiecks: A = |-18|/2 = 9   [FE] 

So. Nun kannst du hier mal auf Fehlersuche gehen.