Manchmal hilft es, ein Problem hinreichend zu verallgemeinern. Suchen wir doch mal
lim x ^ € ln ( x ) ; € > 0 (€) |R ( 1 )
x ===> 0
Folgende Substitution
ln ( x ) =: - z ; z ===> ( °° ) ( 2a )
x = exp ( - z ) ( 2b )
x ^ € ln ( x ) = - z exp ( - € z ) ===> 0 ( 2c )
Die Begrümdung für das asymptotische Verhalten ( 2c ) ; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel
" Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "
" Die logaritmische Singularität wird von jeder noch so schwachen €-Potenz unterdrückt. "
" Unn da stellemer ons janz domm; unne fragemer so: "
1) Von welcher Ordnung ist die logaritmische Singularität?
2) Was ist das überhaupt - eine Polstelle n-ter Ordnung?
DEFINITION ( Polstelle n-ter Ordnung )
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Wir wollen sagen, y = f ( x ) hat eine Polstelle n-ter Ordnung, wenn die Funktion ( 3a )
g ( x ; n ) := f ( x ) ( x - x0 ) ^ n ( 3a )
stetig ist in einer ( offenen ) ===> Umgebung von x0; und zwar fordern wir insbesondere Ungleichung ( 3c )
g ( n ) := g ( x0 ; n ) := lim g ( x ; n ) ( 3b )
x ===> x0
g ( n ) < > 0 ( 3c )
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Dabei erweist sich Ungleichung ( 3c ) als schlechthin entscheidend; sonst könnte nämlich n so ziemlich alles sein. Wir werden Eindeutigkeit zeigen; d.h. ist x0 ein Pol n-ter und gleichzeitig m-ter Ordnung, so folgt m = n .
Beweis durch Widerspruch; sei also n < m . Dann ist Ungleichung ( 3c ) erfüllt, ferner auch
g ( m ) < > 0 ( 4a )
Jetzt ergibt sich aber aus ( 3a ) der Zusammenhang
g ( x ; m ) = g ( x ; n ) ( x - x0 ) ^ ( m - n ) ( 4b )
und somit aus dem ===> Grenzwertsatz
g ( m ) = g ( n ) * 0 = 0 ( 4c )
( 4c ) im Widerspruch zu ( 4a )
Vielleicht bist du jetzt allzu schnell bei der Hand mit dem Einwand, die Ordnung von Polstellen einer gebrochen rationalen Funktion erkennt man doch intuitiv. Aber bei ===> transzendenten funktionen kommst du ohne meine Definition nicht weit; so besitzt etwa
f ( x ) := sin ( x ) / x ² ( 5 )
einen Pol ERSTER und nicht zweiter Ordnung ( einschließlich der Konsequenz des Vorzeichenwechsels ! )
Was du an Hand dieser Aufgabe lernen sollst; ganz erstaunlich. Die logaritmische Singularität ist überhaupt keine Polstelle im Sinne meiner Definition. Der Trick: Bereits für beliebig kleine Potenzen € verschwindet der Grenzwert in ( 1 ) ; folglich kann es auch keine " Ordnung " geben analog ( 3c ) , wo etwas von Null Verschiedenes heraus kommt.
