Relation antisymmetrisch?

Question

Die Suche hat mich leider nicht weiter gebracht. Hab ein kleines Verständnisproblem was die Antisymmetrie angeht.

M ist die Menge aller Menschen; xRy falls x und y am gleichen Tag Geburtstag, oder gleich groß sind.

Reflexiv

ist klar, jeder Mensch hat mit sich selbst am gleichen Tag Geburtstag, bzw. ist genau so groß wie er selbst.

Symmetrisch

auch klar, wenn Mensch 1 und Mensch 2 am gleichen Tag Geburtstag haben, hat auch Mensch 2 am gleichen Tag wie Mensch 1.

Transitiv

gilt ebenfalls, ist Mensch 1 genau so groß wie Mensch 2 und Mensch 2 so groß wie Mensch 3, dann ist Mensch 1 genau so groß wie Mensch 3.

Antisymmetrisch versteh ich nicht ganz, wenn Mensch 1 am gleichen Tag Geburtstag hat wie Mensch 2 und Mensch 2 am gleichen Tag wie Mensch 1, dann müssen es die gleichen Menschen sein?

Was hier nicht der Fall ist, deshalb ist die Relation nicht antisymmetrisch?!
Würde das dann, aber nicht bedeuten, dass nur Relationen antisymmetrisch sind, die nur aus Elementen bestehen die mit sich selbst in Relation stehen, oder hab ich da gerade einen Denkfehler?

Comments

:-)

Answer 1

M ist die Menge aller Menschen; xRy falls die Person x die Person y kennt.

Ist es symmetrisch oder antisymmetrisch?

Comments

Wenn Person x, Person y kennt dann folgt daraus nicht zwingend, dass Person y Person x kennt

-> Nicht symmetrisch

Wenn Person x, Person y kennt und Person y Person x kennt, dann folgt daraus nicht zwingend dass Person x und Person y die gleiche Person sind, deshalb nicht antisymmetrisch?!

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Ich denke da gerade an Prominente Persönlichkeiten. Du kennst Madonna. Aber kennt Madonna dich ?

Jeder (oder fast jeder) kennt die Bundeskanzlerin aber kennt die Bundeskanzlerin jeden ?

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Das heißt, wenn x ( ich), y kenne ( Madonna ), aber Madonna mich nicht, dann gilt die Bedingung aus der gefolgert wird

( xRy ∧ yRx ⇒ x = y ) gar nicht erst und es kann nicht antisymmetrisch sein.

Wenn allerdings die Bedingung gelten würde, heißt Ich kenne Madonna und Madonna kennt mich, dann müsste man daraus folgern, dass Ich und Madonna die gleiche Person sind.

Richtig?

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Ich verstehe.

M = { 1 , 2 , 3 }
R ⊆ M x M

R = { (1,1) , (2,2) , (3,3) }

reflexiv

R = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}

nicht reflexiv, aber antisymmetrisch

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Anderes Beispiel:

R := {(m,n) : m teilt n ohne Rest} ⊆ ℕ x ℕ

reflexiv und transitiv
nicht symmetrisch weil zB aus 1R3 folgt nicht 3R1
nicht antisymmetrisch, weil 1R3 und 3R1 nicht gilt

ach halt, doch das ist antisymmetrisch weil, xRy ∧ yRx nur gilt wenn x=y ist, ach jetzt hab ich es verstanden ^^

Answer 2

Du bist bei Definition N1. 1 Antisymmetrisch. https://de.wikipedia.org/wiki/Antisymmetrische_Relation#Formale_Definition

Deine Relation ist nicht antisymmetrisch, weil es 2 verschiedene Personen geben kann, die am gleichen Tag Geburtstag haben.

"grösser gleich" und "grösser" sind Beispiele von antisymmetrischen Relationen.

"grösser gleich": Wenn (x≥y und y≥x) ==> x=y.

"grösser". (x>y und y>x) kommt gar nicht vor.

Comments

Das heißt:

M = { 1 , 2 , 3 }
R ⊆ M x M

Damit ich es auch wirklich verstanden habe:

R₁ = {(1,1),(1,2),(2,1)} - nicht antisymmetrisch

R₂ = {(1,2),(2,1)} - nicht antisymmetrisch

R₃ = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} - nicht antisymmetrisch

R₄ = {(2,2),(1,3),(3,1)} - nicht antisymmetrisch

R₅ = {(2,3),(1,2),(2,1)} - nicht antisymmetrisch

R₆ = {(1,3),(2,1),(2,3),(3,2)} - nicht antisymmetrisch

Richtig?

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Richtig. Zumindest gemäss der Definition in Wikipedia.

(Es gibt dort aber auch noch einen weiteren Begriff "asymmetrisch")

Wenn ihr antisymmetrisch gleich definiert habt wie in der Wikipedia, sind alle 6 Relationen antisymmetrisch.

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Ja, es ist definitiv antisymmetrisch und nicht asymmetrisch gemeint.

Das heißt dann ja wohl auch, dass eine Relation nur gleichzeitig symmetrisch und antisymmetrisch sein kann, wenn sie entweder leer ist, oder nur jedes Element mit sich selbst in Relation steht. Was anderes fällt mir da nicht ein, oder? Nur rein interessehalber.

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Sehe ich auch so.