Die Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen deren Summe 10 beträgt, soll ein Maximum werden. a,b=?

Question

Die summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen deren Summe 10 beträgt, soll ein Maxmum werden. a,b=? Weisen Sie  Ihr Ergebnis mittels Differentialrechnung aus.Bitte die gesamten Gleichungen aufstellen wenn es möglich ist!

Answer 1

1. Zielfunktion finden. z soll maximal werden:

z = a² + b² 

a + b = 10  ==> b = 10 - a

z(a)  = a² + (10-a)² 

z(a) = a² + 100 - 20a + a²

z(a) = 2a² - 20a + 100

2. Extremalstelle bestimmen

z'(a) = 4a - 20  = 0

4a = 20

a = 5  ==> b = 10-5 = 5

3. Extremum ausrechnen:

z_max = 25 + 25 = 50. 

EDIT: Das ist das Minimum. Also z_min = 25 + 25 = 50.

vgl. Diskussion im Kommentar. 

Comments

Das dachte ich auch. Leider liegt bei a= 5 ein Minimum vor und kein Maximum. Da wusste ich dann nicht mehr weiter.

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Weiter: Test zu Koffis Einwand: 

a=4 und b = 6

z = 16 + 36 = 52 stimmt. z=50 muss das Minimum sein. 

Da die Ableitung sonst nirgends 0 ist, muss am Rand das Maximum sein.

Gehört 0 zu den natürlichen Zahlen, so ist die maximale Summe 10² + 0² = 100, Zahlen 0 und 10

Wenn 0 nicht zu N gehört, ist die maximale Summe 9² + 1² = 82 , Zahlen 1 und 9

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welches der beiden Ergebnisse stimmt jetzt?

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Frage deinen Lehrer oder dein Lehrbuch, wie IHR N definiert habt.