K-lineare Abbildungen: Identitäten nachweisen

Question

a) habe ich bereits nachgewiesen, wie könnte man denn an b) und c) rangehen?

danke schonmal:)

Comments

Ich habe da leider gerade keinen Schnelltipp. p ist eine Projektion. Schau vielleicht unter diesem Begriff mal in die Wikipedia und dann auch noch hier rein: 

https://www.mathelounge.de/suche?q=projektion

Answer 1

b) geht doch so:

Sei x aus V, dann gilt

( id - p ) o ( id - p ) ( x)

= ( id - p )  ( x - p(x)  ) 

=   ( x - p(x)  ) -  p (   ( x - p(x) )  weil p linear :

=   ( x - p(x)  ) - (  p( x) - p(p(x)) )  nach Vor!

=   ( x - p(x)  ) - (  p( x) - p(x) )

=   ( x - p(x)  ) - 0

=   x - p(x) 

= ( id - p ) ( x)   Bingo!

Comments

Danke für den Lösungsansatz
Dann müsste man doch bei der c) nur noch zum beweisen die vorher geprüften Identitäten verwenden oder ist sonst noch etwas zu beachten?

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Na ja, irgendwie musst du ja von Kern(p) auf ( id - p ) ( V) kommen.

Geht vielleicht so:

x aus Kern (p) ⇔ p(x) = 0

⇔ p(x) = 0

⇔ x -  p(x) =   x 

????  da müsste man für die Rückrichtung noch was finden.

⇔ es gibt ein y aus V mit y = x - p(x) 

⇔ x aus ( id - p ) ( V)