Extremwerte herausfinden und summieren

Question

Gegeben ist die Funktion

f(x,y)= 18xy-6x^3-6y^3

An welchen Punkten könnte die Funktion einen Extremwert besitzen ?

Ich weiss nicht wirklich wie ich vorgehen sollte ...

ich habe zunächst mal die Ableitungen berechnet...

fx´(x,y)= 18y-18x^2

fx´´(x,y)= -36x

fy´(x,y)= 18x-18y^2

fy´´(x,y)= -36y

ich würde jetzt eine Hessematrix bilden, habe aber leider keine Werte für diese .... oder bin ich falsch ?

Könnte mir jemand behilflich sein?

Comments

fx´(x,y)= 18y-18x²
fy´(x,y)= 18x-18y²

18y-18x^2 = 0
18x-18y^2 = 0

Extremwerte herausfinden

( 0 | 0 ) ( 1 | 1 )

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mich verwirrt es etwas, dass dort x und y in der Gleichung auftauchen ...
deshalb ein Problem für mich, dieses zu lösen ...

Ich muß einmal etwas über deinen Hintergrund und den Hintergrund der
Frage nachfragen.

Ist es eine Hausaufgabe ?
Habt ihr im Unterricht Funktionen mit 2 Variablen ( x, y ) besprochen ?

Üblicherweise  darf nur das abgefragt werden was zuvor unterrichtet wurde.

Partielle Ableitungen habt ihr doch gehabt.

Ich erkläre schon einmal.
Stell dir die Alpen auf einer Fläche in x - Richtung und y -Richtung vor.

Für die Extremstellen, sprich die höchsten Berge, gilt :
dort ist sowohl die Steigung in x-Richtung als auch in y-Richtung 0.
Es geht von beiden Richtungen bergauf und dann wieder bergab.

Um diese Extremstellen zu finden werden die Ableitungen in beide
Richtungen berechnet

fx´(x,y)= 18y-18x²
Extremstellen
18y-18x^2 = 0

fy´(x,y)= 18x-18y²
Extremstellen
18x-18y^2 = 0

Wir hatten gesagt das bei den Gipfeln die Ableitungen in beide Richtungen
0 sein müssen.

Mathematisch haben wir 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
18y-18x^2 = 0
18x-18y^2 = 0

Kannst du dies lösen und die Werte für x und y finden ?

mfg Georg

Answer 1

> habe aber leider keine Werte für diese

Nimm die Nullstellen der partiellen Ableitungen als Werte. Diese bekommst du indem du das Gleichungsystem

        18y-18x² = 0
        18x-18y² = 0

löst.

Comments

könntest du mir das etwas genauer erklären ?

Stehe etwas auf dem Schlauch...

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Was genauer erklären? Wie man Gleichungssysteme löst? Oder warum die Nullstellen der partiellen Ableitungen Kandidaten für Extrempunkte sind?

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mich verwirrt es etwas, dass dort x und y in der Gleichung auftauchen ... deshalb ein Problem für mich, dieses zu lösen ...

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Du kannst das Einsetzverfahren nutzen.

Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und dann in der andern einsetzen.

So hast du schnell nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten.

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> ... in der Gleichung ...

Es ist ein Gleichungssystem, keine isoliert zu betrachtenden Gleichungen. So löst man Gleichungssysteme:

1. Wähle eine Gleichung.
2. Wähle eine Variable, die in dieser Gleichung vorkommt.
3. Stelle die gewählte Gleichung nach der gewählten Variable um. Schreibe die entstande Gleichung auf ein zweites Blatt.
4. Setze die Lösung in die übrigen Gleichungen ein.
5. Entferne die gewählte Gleichung aus dem Geichungssystem
6. Falls noch Gleichungen übrig sind, gehe zurück zu 1.

Wenn keine Gleichungen mehr übrig sind, kümmerst du dich um die Gleichungen auf dem zweiten Blatt:

1. Setze das Ergebnis der letzten Gleichung in die vorletzte Gleichung ein und rechne aus.
   
2. Setze das Ergebnis der letzten Gleichung und das Ergebnis aus Schritt 1 in die vorvorletzte Gleichung ein und rechne aus.
3. Setze das Ergebnis der letzten Gleichung, und de Ergebnisse aus Schritt 1 und 2 in die vorvorvorletzte Gleichung ein und rechne aus.
4. ... (bis du bei der ersten Gleichung angekommen bist.)