Berechnen von uneigentlichen Integralen. f(x) = (lnx)/ (x^2+1)

Question

ich habe eine Aufgabe vorgelegt bekommen, welche wie folgt lautet:

das Integral von [0,unendlich] von (lnx)/ (x²+1)         erste Version  (lnx)/ x²+1

Wie kann ich daraus die Stammfunktion bilden? Ist hier der Umgang mit komplexen Zahlen gefordert?

Oder gibt es einfachere Tricks?

Ich danke für eure Hilfe

EDIT: Klammer um Nenner ergänzt. 

Comments

Ich vermute, dass Du Klammer vergessen hast, da man ja aus der Summe 2 Integrale machen könnte.

lautet die Funktion zum Integrieren nicht: Integral log(x)/(x²+1) dx ??

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oh, tatsache.

habe die klammer vergessen. danke dir.

aber die eine idee habe ich noch immer nicht :)

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Die Funktion heißt also
f ( x ) = (lnx) / ( x²+1 ) ?

Answer 1

(lnx)/x²+1

Tipp:

Die Ableitung von  (  ln(x) + 1 )  /   x    ist  - ln(x) / x^2 .

Answer 2

Hier mein Tipp:

https://de.wikipedia.org/wiki/Catalansche_Konstante

Bei 1 ist die Nullstelle und beide Hälften sind A006752 nur mit anderem Vorzeichen.

Man kann auch Summen daraus basteln, statt mit komplexen Zahlen oder der Li -Funktion

(Polylog ) zu hantieren.

Comments

Lösung2 per Reihenentwicklung ohne die Nullstelle bei der Hälfte der Fläche zu betrachten:

man integriert die Reihe und bekommt eine Reihenentwicklung für das Integral:

x^1 * (log(x)-1) +x^3 *(1/9-(log(x))/3)+x^5 * ((log(x))/5-1/25)+...  für x gegen 0

x^-1* (log(x)-1)+x^-3 *(1/9-(log(x))/3)+x^-5 ((log(x))/5-1/25)+...  für x gegen ∞

Da beim Einsetzen der Integrationsgrenzen die Differenz gebildet wird,

braucht man nur die vorderen Glieder zu betrachten um zu erkennen

(1/∞ = 0), dass sich alle Glieder herauskürzen und 0 über bleibt.

Hier braucht man weder komplexe Zahlen noch genaue Zwischenwerte noch die genaue Teilfläche.

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Kopierfehler bei der 2. Reihe: innerhalb der log-Funktion natürlich auch Kehrwert:

statt x^-1* (log(x)... also x^-1* (log(1/x)... für x gegen ∞

Und für die, die sagen , dass log(1/x)=-∞ bei x gegen ∞

eigentlich unbestimmt -> da es in beiden Reihen die selbe Unbestimmtheit, kürzt sich diese heraus.

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Lösung 3: Stammfunktion

F(x)=log(x)*atan(x)-i*PolyLog(2,-i x)/2+i*PolyLog(2,i*x)/2

mit Grenzen: F(∞)-F(0)=0-0=0

Achtung: je nach Aufgabenstellung (wie z.B. Wirkleistung) kann auch der Betrag der 2 Teilflächen gesucht sein

und dann ist bei Schnittpunkt F(1): Ages=F(1)-F(0)+|F(∞)-F(1)|=2*|F(1)|=2*A006752=2*0.91596...

Lösung 4: numerische Integration (2 Flächen bei Nulldurchgang bei 1)

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Na=1;@B0]=a;//nach%20Gauss:%20@Ivon,bis,Formel(dx),Genauigkeit)@Nb=@I1e-7,a,'log(x)/(x*x+1)',8e-6);c=@Ia,13000,'log(x)/(x*x+1)',9.137e-5)+@I13000,8e4,'log(x)/(x*x+1)',8.1377e-5)+@I8e4,9e4,'log(x)/(x*x+1)',1e-7);@Ni%3E=0@N1@N0@N#

A = -0.91596... + 0.91596... = 0

Mehr Nachkommastellen von A006752 unter:

http://www.gutenberg.org/cache/epub/812/pg812.html

Lösungsweg 5: Substitution -> später, wenn Nachfrage...