Trigonometrie, Allgemeines Dreieck, ohne Sinussatz lösen

Question

Abend,
Es geht um Trigonometrie im allgemeinen Dreieck. Ohne Sinussatz etc..(Dürfen wir noch nicht) Man muss aus dem allgemeinen Dreieck ein rechtwinkliges machen, das kann ich. Aber kann mir jemand die Rechnungen dazu erklären bzw. wie man vorgehen soll?  
Beispiel: α= 114°, a=46cm, b=22cm
Gesucht ist alles andere,also die Winkel und hb und c.

Comments

Hey

bist du sicher dass Winkel alpha 114° hat. Denn unter dieser Bedingung kann er in dem rechtwinkligen Dreieck deiner Skizze nicht existieren, da die innenwinkelsumme eines Dreiecks immer 180° hat.

Hier also 180°-90°-114°-beta ≠ 0 .

 

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Das war einfach nur ein Beispiel aus der Schule. Es geht ja darum, das allgemeine Dreieck rechtwinklig zu machen und dann die anderen Werte zu berechnen. Meine Frage ist dann, wie ich z.B. nun hb berechne. 

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Du kannst hb zum beispiel mit dem tangens berechnen. (natürlich nur bei rechtwinkligen Dreiecken) 

Es ist:   tan(α)= Gegenkathete/Ankathete = hb/b        |  *b

          b* tan(α) =hb

Mit hb und b kannman dann ja auch c berechnen.

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Ahh, okay. Jetzt erkennt man das auch an der Zeichnung, weil hb ja gegenüber alpha liegt.

Und zu c: Wäre das dann c²⁼ b^{2 +} hb^{2 ?}

^{Und für β dann die Winkelsumme: 180°-90°-52°= 38°  (Hab alpha nochmal neu gemessen, bezogen auf meine Skizze)}

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tan(α) = h_b / b  ist leider falsch:   tan(α) = h_b / |\(\overline{AH}\)|

vgl. meine Antwort

Answer 1

mit der Höhe h_b kommst du nicht weiter, wenn  Winkel α und die Seiten a und b gegeben sind, 

du musst die Höhe h_c einzeichnen:

sin(α) = h_c / b   →  h_c = b • sin(α)     [ gilt natürlich nur für α < 90°]  

sin(β) = h_c / a  .→ β 

In den beiden kleinen rechtwinkligen Dreiecken kannst du dann mit Pythagoras oder passenden trigonometrischen Formeln die Teilstrecken von  c ausrechnen →  c

γ ergibt sich natürlich aus der Winkelsumme: γ = 180° - α - β 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Die  Strecke von A zum Fußpunkt von h_b nenne ich p. Dann gelten folgende Gleichungen:

h_b/c = sin α

h_b/a = sin γ

p/c = cos α

(b-p)/a = cos γ

In diesem Gleichungssystem sind a,b, α bekannt und h_b, c, γ, p unbekannt. Es sind vier Gleichungen und vier Unbekannte. Da wäre  es einen Versuch wert, dieses Gleichungssystem zu lösen.

Answer 3

@ Frontliner:

Zitat: "Es ist:   tan(α)= Gegenkathete/Ankathete = hb/b"

Kann eigentlich nicht sein, denn  b ist ja eine Seite des allgemeinen Dreiecks und nicht das Teilstück im rechtwinkligen Dreieck ASB (wobei S der Schnittpunkt von hb mit der Seite b sein soll), für das Du die Winkelfunktion anrwendest.

Answer 4

Ohne den Sinussatz etc. wie von Dir gewünscht.

Allgemein gilt (es gibt auch Sonderfälle)