Der Graph einer Funktion f(x) = a * x^r geht durch die Punkte P(2 I 8/3) und Q(3 I 9).

Question

Aufgabe:

Der Graph einer Funktion \( f(x)=a \cdot x^{r} \) geht durch die Punkte \( P\left(2 \mid \frac{8}{3}\right) \) und \( Q(3 \mid 9) \). Die Parameterwerte \( a \) und \( r \) sind zu ermitteln.

Ansatz/Problem:

Kann mir das Beispiel bitte jemand runterrechnen. Ich brauche Anhaltspunkte. Weiß nicht, wie ich bei sowas beginnen soll.

Answer 1

\( f(x)=a · x^{r} \)

\( p\left(2 \mid \frac{8}{3}\right): \quad I: ~ \frac{8}{3}=a \cdot 2^{r} \)

\( \underline{ q\left(3 \mid 9\right): \quad II: ~ 9=a \cdot 3^{r} } \)

I geteilt durch II:

\( \frac{8}{27}=\frac{2^r}{3^{r}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{r} \)

\( \frac{2^{3}}{3^{3}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{r} \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{r} \)

\( \rightarrow \) Exponentenvergleich: \( r = 3 \)

\( \rightarrow \quad 9=a \cdot 3^{3} \)

\( 9=a \cdot 27 \rightarrow a=\frac{9}{27} \)

\( a=\frac{1}{3} \)

Answer 2

Hey!

I    9=a*3^r

II     8/3=a*2^r

Gleichung I formst du nach a um.

also

a=9/3^r

Dieses a setzt du in Gleichung II ein:

8/3= (9/3^r)*2^r  = (9*2^r)/3^r      | :9

-> 8/27 =2^r/3^r  = (2/3)^r         |log()

-> log(8/27) = log(2/3) *r    | log(2/3)

->r= (log(8/27)/(log(2/3)) =3

-> r=3

Einsetzen von r in Gleichung I

9=a*3³     | : 3³

-> a= 9/3³ =9/27 = 1/3

Also Lösungen sind:

r=3 und a =1/3

Comments

Super! Jetzt weiß ich wieder so einigermaßen, wie und wo ich log anwenden muss.