Gipfel und Täler berechnen

Question

ich muss bei einer Matheaufgabe Gipfel und Täler berechnen, jedoch weiss ich im Moment nicht weiter!a). F(x) =3x^3 - 4x so nun habe ich die Ableitungsfunktion gebildet f'(x)= 9x^2 - 4 Meiner Meinung nach müsste ich glaube jetzt ausklammern?! Oder pq Formel?!Ich weiß nicht weiter, würde mich über Antworten sehr freuen :)

Answer 1

Du musst ja die Extrempunkte berechnen.

Dabei setzt du deine Ableitung gleich 0

also 9x²-4=0  | +4

9x²=4    | :)

x² = 4/9 | √

x1= 2/3  und x2=-2/3

Die Werte musst du nun in die zweite Ableitung einsetzen:

f ''(x)=18x

f ''(2/3)=12  -positiv also Tiefpunkt (Tal)

f ''(-2/3)=-12 -negativ also Berg

Ta l(2/3| -16/9)   Berg ( -2/3 | 16/9)

 ~plot~3x^3 - 4x~plot~

Comments

Danke :)Eine Frage hätte ich noch, wir sollen immer noch einen Zwischenschritt machen, bevor wir die y-Werte ausrechnen soll und zwar so:Bspw. x1 = 0f'(-1)=8f'(1) = -8 -> +/- VZW -> GipfelWie wuerde dass dann bei unseren NST aussehen? Bin mir so unsicher, weil 2/3 ja unter 1 ist...?

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Achso das ist das Steigungsverhalten rund um die Extrempunkte.

Kurz vor dem Tiefpunkt muss der graph nämlich logischerweise fallen und kurz nach dem Tiefpunkt wieder ansteigen. Ansonsten wäre es ja kein Tiefpunkt. Des halb schnappt man sich Werte die zum einen kurz davor und kurz nach der Stelle sind. Bei 2/3= 0,66666  z.b 0,6 und 0,7. Die setzt man in die erste Ableitung um die Steigung herauszubekommen.

f '(0,6)= -0,76

f '(0,7)=0,41

Es liegt also ein Vorzeichenwechsel der Steigung von negativ zu positiv vor weshalb hier der Tiefpunk existiert.

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Du bist einfach eine soo große Hilfe - vielen lieben Dank! Bei dir kann ich alles super gut nachvollziehen :)Müsste ich dann bei unserer zweitenNST = - 2/3; Werte wie -0,6 und -0,7 nehmen?

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Ja genau perfekt.

Hier ist dann der VZW von + zu  - da ja es ja ein Hochpunkt ist.

Answer 2

f'(x)= 9x² - 4 = 0

          9x^2 = 4

          x^2 = 4/9

           x = 2/3   oder   x=-2/3

An den beiden Stellen können Gipfel oder Täler sein.

mit f ' ' ( x) = 18x siehst du

 f ' ' ( 2/3 ) = 12 > 0 Also Tal bei x=2/3 und

f ' ' ( - 2/3 ) = - 12 < 0 Also Gipfel bei x=- 2/3 .

Comments

Eine frage noch: die nullstelle x1= 0 ist hier nicht vorhanden,oder?

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Die Nullstellen berechnet man in diesem Falle so: x(3x² - 4) = 0. Das Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist. Also x₁ = 0 oder 3x² - 4 = 0. Das heißt x² = 4/3 und dann x₂ = √(4/3) oder x₃ = -√(4/3).