2 vektoren gegeben, 3. vektor finden der senkrecht zu beiden ist

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right) \) und \( \vec{y}=\left(\begin{array}{l}{4} \\ {5} \\ {6}\end{array}\right) \)
a) Bestimmen Sie mittels des Skalarproduktes einen Vektor \( \vec{z}_{0} \), der zu den beiden anderen Vektoren senkrecht ist.
b) Bestimmen Sie mittels des Vektorproduktes einen weiteren Vektor \( \vec{z}_{1}, \) der zu \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \) senkrecht ist.
c) Vergleichen Sie die Ergebnisse.

ich habe veruscht ein gleichungsystem aufzustellen aber dieses hat keine lösungen ...

das skalarprodukt x*z muss  =0 sein und y*z muss auch =0 sein

aber wie kriege ich das hin ?

Answer 1

Hi!

Da bildest du das Kreuzprodukt beider Vektoren. Bei der Ebene wäre dies der Normalenvektor(vielleicht klingelts ja bei dir wenn ihr das Thema Ebenen schon hattet

Hier ist das Kreuzprodukt der Vektoren: vektor n=  (-1 | 2 | -1) Das ist also der Vektor welcher senkrecht zu deinen Vektoren x und y ist.

Wenn du nicht weißt wie man das Vektorprodukt bildet ist hier ein Link:

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/vektorprodukt-kreuzprodukt.html

Comments

danke aber in der aufgabenstellung steht wir sollen es einmal mit dem kreuzprodukt und einmal mit dem skalarprodukt machen. hier komme ich aber auf ein gleichungssystem mit 0 lösungen

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Ah hab die Aufgabenstellung nur überflogen ;)

Hier man darf sich eine Zahl für eine Variable ausdenken da es ja auch unendlich Normalenvektoren gibt(weil es vielfache gibt)

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hey vielen dank dass du dir die mühe gemacht hast das aufzuschreiben !
multipliziert man hier mit -2 damit durch die addition das z rausfliegt ?

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Ja genau richtig!

Answer 2

Ich kann die Vektoren hier nicht in Spaltenschreibweise schreiben. Deshalb werde ich sie in Zeilenschreibweise schreiben:
Den Vektor, der gesucht ist, nenne ich (a, b, c). Mittels Skalarprodukt erhalte ich dann die Gleichungen a+2b+3c=0 und 4a+5b+6c=0. Daraus lässt sich b = -2c und dann a = c gewinnen. Dann ist (a,b,c)=(c,-2c,c) oder  c·(1,-2,1). Alle Vektoren c·(1,-2,1) stehen senkrecht auf x und y.

Answer 3

  Natürlich müssen beide Ergebnisse überein stimmen - wir haben ja nur drei Dimensionen; einmal ganz abgesehen davon, dass ein " Kreuzprodukt " im |R ^ n , n > 3 , gar nicht definiert ist - im Gegentum zum Skalarprodukt. Das Skalarprodukt führt uns auf die beiden Bestimmungsgleichungen

             u  +  2  v  +  3  w  =  0     |  :  w           (  1a  )

         4  u  +  5  v  +  6  w  =  0     |  :  w           (  1b  )

                        U  :=  u / w  ;  V  :=  v / w        (  1c  )

 

   Aber SOFORT einen Anwalt beauftragen ( natürlich mit Crossover-Kenntnissen in Matematik ) , ob bei Doktortitel bzw. Habilitation von eurem Prof alles mit rechten Dingen zugegangen ist ( natürlich nur, wenn ihr den nicht leiden könnt. ) ( Wir hatten auch einen vorbestraften Deutschlehrer; immer wenn der in Klausuren die Rechtschreibung korrigierte, drängte den die Klasse, dies zu unterlassen. )

  " Aber Bruno; wir sind doch Ihre Froiiiiinde ... " 

  Okay; bei mir ist das etwas anderes. Ich habe mein Promotionsstudium bei Bienenstich und Tee mit Rum in der Mensa abgefeiert; im Übrigen bin ich längst Renntier - da nimmt man es nicht so genau. Ein typisches Fellkennzeichen, woran man Professoren erkennt: Die Jungs halten ihre Nomenklatur in Ordnung.

    Siehe die Kollision bei Frontliner; nicht nur der Mathematicus Professoralis Dotzendvaris, sondern auch der gewöhnliche Mathematicus Mathematicus weiß: Die Bezeichnungen x , y und z sind für die cartesischen Achsen reserviert und nicht für obige drei Vektoren. ( Jeder Prof, der in der Zunft organisiert ist, würde es im Übrigen strikt vermeiden, zwei Vektoren als x und y zu bezeichnen, die nicht mal aufeinander senkrecht stehen - oh Schande. )

     Wenn ich denn das Reich der Widerspruchsfreiheit nicht mutwillig verlassen will, so bin ich gezwungen, ausgerechnet die cartesischen Unbekannten in ( 1ab ) mit beispielsweise u , v bzw. w zu bezeichnen. Hier ich weiß nur zu gut, wie das ausgeht; am Anfang bläst sich jeder auf. Kleinigkeit; ich versteh schon, was der meint. Aber wenn's dann richtig komplitückisch wird, ist eine zweideutige Notation tödlich. ( Diejenigen unter und über euch, die des Programmierens mächtig sind, werden das längst wissen. )  ( Mein Chef, Hr. Simon, hätte wieder gesagt )

  " So nichtene, meine Herren - ene ... "

   ( Von Daher der Spitzname " DIE Simone. " )

   Du kennst das Additions-und das Subtraktionsverfahren; sagt dir auch das Divisionsverfahren was? Der Umformungsschritt in ( 1ab ) ist auf meinem Miste gewachsen; er ist dadurch motiviert, dass 2 X 2 LGS beherrschbar sind. Eigentlich ganz pfiffig; da ja rechts nur Null steht, bleibt das GS linear, wenn wir die dritte Unbekannte weg dividieren.

 

 

         U  +  2  V  =  (  -  3  )     |  *  4         (  2a  )

    4  U  +  8  V  =  -  3  *  4          (  2a  '  )

    4  U  +  5  V  =  -  3  *  2      (  2b  )

 

 

     Den Zwischenschritt ( 2a ' ) habe ich deshalb so ausführlich, damit ihr seht, dass wir rechts einen Faktor 3 ausklammern können;  Subtraktionsverfahren ( 2a ' ) - ( 2b ) , um die Unbekannte U zu eliminieren

 

 

       3  V  =  -  3  *  2  ===>  V  =  (  -  2  )         (  3  )

 

    V einsetzen in ( 2a ) ergibt U = 1 . Somit

 

 

             z  =   (  1  |  -  2  |  1  )         (  4  )

 

   Das rostige Räderwerk des Kreuzprodukts kannst du dir gerne selber antun.

   " The product can me once; and zwas crosswise. " , how the runaway says. Trotzdem komme ich am Ende meines Beitrags auf das Kreuzprodukt zurück.

    Ich möchte dir aber ein Standardverfahren vorführen, das du vermutlich nicht kennst, wie man möglichst schnell auf dieses z kommt.  Es schadet nämlich gar nichts, mal schlauer zu sein wie der Prof ...

   Im Folgenden führe ich die ===> Diracsche ===> Bracketnotation ein; Physikbücher treiben um diese viel zu viel Mystizismus.

   1) Ein  " Bra "  ist ein Zeilenvektor.

   2) Ein  " Ket "  ist ein Spaltenvektor.

  3)   " Bra "  Mal  " Ket "  =  Bracket  =  Skalarprodukt

   Zwar ist das noch lange nicht die Hauptsache; aber in unserem Zusammenhang brauchst du nicht mehr wissen.

   Jetzt betrachte mal die Ebene E , die von den beiden Vektoren | x > und | y > aufgespannt wird.

     |  P  >  =  |  u  ;  v  ;  w  >   ;  P  €  E      (  5a  )

    Auch ich bedauere, dass ich hier keine Spaltenvektoren schreiben kann. Wenn P in E liegt, hast du doch die Darstellung

     |  P  >  =  |  P  >  (  r  ;  s  )  =  r  | x >  +  s  | y >     (  5b  )     

      ( 5b ) heißt Parameterform ( PF ) der Ebene E . In ( 1ab ) wurde gewisser Maßen der Versuch unternommen, ad hoc aus der PF auf den Normalenvektor | z > zu schließen -  keine brillante Idee. Dem gegenüber steht die Koordinatenform ( KF ) der Ebene E , genau genommen handelt es sich um eine Darstellung von E als ===> implizite Funktion .

    E  =  E  (  u , v , w  ;  a , b , c  )  =  a  u  +  b  v  +  c  w  =  k  =  const     (  5c  )

    Hattet ihr schon D & I 2 ? Mein Chef witzelte immer

   " Alle Konstanten sind variabel. "

   ein Kalauer, den wohl nur die Programmierer unter euch zu würdigen wissen.

   In dem Augenblick, wo auch k variabel wird, beschreibt ( 5c ) nicht nur eine Ebene, sondern eine Schar paralleler Niveauflächen der Funktion E , für die auf einmal der ===> Gradientenvektor definiert ist. Und dieser steht immer senkrecht auf den Höhenlinien bzw. Niveauflächen ( und gibt gleichzeitig die Richtung des steilsten Anstiegs ) ( wie ihr im Übrigen schon aus Erdkäs wisst. )

 ( Die Erde ist eine Scheibe, wie neueste Erkenntnisse aus dem Internet belegen. Aber eine mit Löchern; denn sie ist weiblich - DIE Erde. Daher ErdKÄSE wegen den Löchern. Damit wird aber auch klar, warum die Erde keinen Rand hat; weil man bei Käse den Rand immer abschneidet. ) Aus ( 5c ) folgt

   |  z  >  =  |  grad  (   E  )  >  =  |  ( dE/du ) ; ( dE/dv ) : ( dE/dw ) >  =     (  6a  )

                                             =  |  a  ;  b  ;  c  >         (  6b  )

     D.h. wäre nur die KF gegeben, so brauchtest du nichts weiter tun, als die Koeffizienten in ( 5c ) abschreiben  ( max Zeichen )

Comments

  
  Uns stellt sich ganz typisch das Problem: Umwandeln von PF in KF . Ich verfolge ja nun die Debatte; alle Lehrer scheinen immer wieder für das Kreuzprodukt zu plädieren. Und eines Tages meldete sich auf dem Konkurrenzportal ===> Ly cos ( das hier übrigens gar nicht gelitten ist ) der geniale Primaner " der Mo " ( = Mohammed ) Billy Mo geht aus von Beziehung ( 1.5b )

  " Die drei ===> komplanaren Vektoren | P > , | x > und | y > sind linear abhängig; ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET. "




    det  (  |  x  >  ;  |  y  |  ;  P  >  =  0      (  2.1a  )




     Ich würd mal sagen, bei der Berechnung einer Determinante machst du nicht halb so viel Fehler wie beim Kreuzprodukt Sämtliche Regeln zur Auswertung einer Determinante gehen von einem ( gedachten ) Lineal aus; bei dem Kreuzprodukt dagegen existiert nur Chaos. ( 2.1a ) ergibt




                           | 1 4 u  |
                det  =  | 2 5 v  |    =      (  2.1b  )
                           | 3 6 w |



     
     ( ===> Sarrusregel )


    
     det  =  (  2  *  6  -  5  *  3  )  u  +  (  4  *  3  -  1  *  6  )  v  +  (  1  *  5  -  4  *  2  )  w  =      (  2.1c  )

            =  (  2  *  6  -  5  *  3  )  u  +  (  4  *  3  -  6  )  v  -  3  w  =  0     |   :  3    (  2.1d  )

                (  2  *  2  -  5  )  u  +  (  4  -  2  )  v  -  w  =  0       (  2.1e  )
      
       E  (  u , v , w  )  =  -  u  +  2  v  -  w  =  0         (  2.2a  )
      
       |  grad  (   E  )  >  =  |  -  1  ;  2  ;  -  1  >       (  2.2b  )




    Wie versprochen wollte ich zum Schluss noch kurz auf das Kreuzprodukt eingehen. Wie gesagt; zum praktischen Rechnen halte ich es für Ungeeignet. Mich erreichte aber ein Kommentar; ein Vorschlag ich glaube vom Mathechef, wie man die Billy-Mo-Identität ( 2.1a ) mittels Kreuzprodukts beweisen könnte.



    
          |  z  >  =  |  x  >  X  |  y  >    (  2.3a  )



    Da ja  |  z  > senkrecht steht auf E , haben wir insbesondere



            <  z  |  x  >  =  <  z  |  y  > =  0     (  2.3b  )




    Auch der Mathechef stellt an den Anfang seiner Betrachtungen ( 1.5b )



           |  P  >  =  r  | x >  +  s  | y >      |    <  z  |  *         (  1.5b  )    



    Im Diracformalismus lässt sich das ja wunderbar rechtfertigen; ( 1.5b ) wird mit einem Bra multipliziert.




           <  z  |  P  >  =  r            <  z  | x >        +  s      <  z  | y >
                                          --------------------              --------------------   =  0     (  2.3c  )             
                                                   0                                  0



        <  z  |  P  >  =  <  x  X  y  |  P  >  =  det  (  |  x  >  ;  |  y  |  ;  P  >  )     (  2.3d  )



    Du benötigst eben doch Spezialwissen, das der Billy Mo nicht voraus setzt.

  1) Das Kreuzprodukt a X b ist ( dem Betrage nach ) gleich der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms.
  2) Das Tripelprodukt < a X b | c > heißt ===> Spatprodukt.
  3) Zwischen Kreuz-und Spatprodukt besteht eine Analogie; das Spatprodukt ist gleich dem Volumen des von den drei Vektoren a , b und c aufgespannten Spates.
  4) Determinante = Spatprodukt

   Ist ja auch logisch; da die drei Vektoren | x > , | y > und | P > komplanar sind, ist das von ihnen aufgespannte Volumen in ( 2.1a;3d ) Null