Natürlich müssen beide Ergebnisse überein stimmen - wir haben ja nur drei Dimensionen; einmal ganz abgesehen davon, dass ein " Kreuzprodukt " im |R ^ n , n > 3 , gar nicht definiert ist - im Gegentum zum Skalarprodukt. Das Skalarprodukt führt uns auf die beiden Bestimmungsgleichungen
u + 2 v + 3 w = 0 | : w ( 1a )
4 u + 5 v + 6 w = 0 | : w ( 1b )
U := u / w ; V := v / w ( 1c )
Aber SOFORT einen Anwalt beauftragen ( natürlich mit Crossover-Kenntnissen in Matematik ) , ob bei Doktortitel bzw. Habilitation von eurem Prof alles mit rechten Dingen zugegangen ist ( natürlich nur, wenn ihr den nicht leiden könnt. ) ( Wir hatten auch einen vorbestraften Deutschlehrer; immer wenn der in Klausuren die Rechtschreibung korrigierte, drängte den die Klasse, dies zu unterlassen. )
" Aber Bruno; wir sind doch Ihre Froiiiiinde ... "
Okay; bei mir ist das etwas anderes. Ich habe mein Promotionsstudium bei Bienenstich und Tee mit Rum in der Mensa abgefeiert; im Übrigen bin ich längst Renntier - da nimmt man es nicht so genau. Ein typisches Fellkennzeichen, woran man Professoren erkennt: Die Jungs halten ihre Nomenklatur in Ordnung.
Siehe die Kollision bei Frontliner; nicht nur der Mathematicus Professoralis Dotzendvaris, sondern auch der gewöhnliche Mathematicus Mathematicus weiß: Die Bezeichnungen x , y und z sind für die cartesischen Achsen reserviert und nicht für obige drei Vektoren. ( Jeder Prof, der in der Zunft organisiert ist, würde es im Übrigen strikt vermeiden, zwei Vektoren als x und y zu bezeichnen, die nicht mal aufeinander senkrecht stehen - oh Schande. )
Wenn ich denn das Reich der Widerspruchsfreiheit nicht mutwillig verlassen will, so bin ich gezwungen, ausgerechnet die cartesischen Unbekannten in ( 1ab ) mit beispielsweise u , v bzw. w zu bezeichnen. Hier ich weiß nur zu gut, wie das ausgeht; am Anfang bläst sich jeder auf. Kleinigkeit; ich versteh schon, was der meint. Aber wenn's dann richtig komplitückisch wird, ist eine zweideutige Notation tödlich. ( Diejenigen unter und über euch, die des Programmierens mächtig sind, werden das längst wissen. ) ( Mein Chef, Hr. Simon, hätte wieder gesagt )
" So nichtene, meine Herren - ene ... "
( Von Daher der Spitzname " DIE Simone. " )
Du kennst das Additions-und das Subtraktionsverfahren; sagt dir auch das Divisionsverfahren was? Der Umformungsschritt in ( 1ab ) ist auf meinem Miste gewachsen; er ist dadurch motiviert, dass 2 X 2 LGS beherrschbar sind. Eigentlich ganz pfiffig; da ja rechts nur Null steht, bleibt das GS linear, wenn wir die dritte Unbekannte weg dividieren.
U + 2 V = ( - 3 ) | * 4 ( 2a )
4 U + 8 V = - 3 * 4 ( 2a ' )
4 U + 5 V = - 3 * 2 ( 2b )
Den Zwischenschritt ( 2a ' ) habe ich deshalb so ausführlich, damit ihr seht, dass wir rechts einen Faktor 3 ausklammern können; Subtraktionsverfahren ( 2a ' ) - ( 2b ) , um die Unbekannte U zu eliminieren
3 V = - 3 * 2 ===> V = ( - 2 ) ( 3 )
V einsetzen in ( 2a ) ergibt U = 1 . Somit
z = ( 1 | - 2 | 1 ) ( 4 )
Das rostige Räderwerk des Kreuzprodukts kannst du dir gerne selber antun.
" The product can me once; and zwas crosswise. " , how the runaway says. Trotzdem komme ich am Ende meines Beitrags auf das Kreuzprodukt zurück.
Ich möchte dir aber ein Standardverfahren vorführen, das du vermutlich nicht kennst, wie man möglichst schnell auf dieses z kommt. Es schadet nämlich gar nichts, mal schlauer zu sein wie der Prof ...
Im Folgenden führe ich die ===> Diracsche ===> Bracketnotation ein; Physikbücher treiben um diese viel zu viel Mystizismus.
1) Ein " Bra " ist ein Zeilenvektor.
2) Ein " Ket " ist ein Spaltenvektor.
3) " Bra " Mal " Ket " = Bracket = Skalarprodukt
Zwar ist das noch lange nicht die Hauptsache; aber in unserem Zusammenhang brauchst du nicht mehr wissen.
Jetzt betrachte mal die Ebene E , die von den beiden Vektoren | x > und | y > aufgespannt wird.
| P > = | u ; v ; w > ; P € E ( 5a )
Auch ich bedauere, dass ich hier keine Spaltenvektoren schreiben kann. Wenn P in E liegt, hast du doch die Darstellung
| P > = | P > ( r ; s ) = r | x > + s | y > ( 5b )
( 5b ) heißt Parameterform ( PF ) der Ebene E . In ( 1ab ) wurde gewisser Maßen der Versuch unternommen, ad hoc aus der PF auf den Normalenvektor | z > zu schließen - keine brillante Idee. Dem gegenüber steht die Koordinatenform ( KF ) der Ebene E , genau genommen handelt es sich um eine Darstellung von E als ===> implizite Funktion .
E = E ( u , v , w ; a , b , c ) = a u + b v + c w = k = const ( 5c )
Hattet ihr schon D & I 2 ? Mein Chef witzelte immer
" Alle Konstanten sind variabel. "
ein Kalauer, den wohl nur die Programmierer unter euch zu würdigen wissen.
In dem Augenblick, wo auch k variabel wird, beschreibt ( 5c ) nicht nur eine Ebene, sondern eine Schar paralleler Niveauflächen der Funktion E , für die auf einmal der ===> Gradientenvektor definiert ist. Und dieser steht immer senkrecht auf den Höhenlinien bzw. Niveauflächen ( und gibt gleichzeitig die Richtung des steilsten Anstiegs ) ( wie ihr im Übrigen schon aus Erdkäs wisst. )
( Die Erde ist eine Scheibe, wie neueste Erkenntnisse aus dem Internet belegen. Aber eine mit Löchern; denn sie ist weiblich - DIE Erde. Daher ErdKÄSE wegen den Löchern. Damit wird aber auch klar, warum die Erde keinen Rand hat; weil man bei Käse den Rand immer abschneidet. ) Aus ( 5c ) folgt
| z > = | grad ( E ) > = | ( dE/du ) ; ( dE/dv ) : ( dE/dw ) > = ( 6a )
= | a ; b ; c > ( 6b )
D.h. wäre nur die KF gegeben, so brauchtest du nichts weiter tun, als die Koeffizienten in ( 5c ) abschreiben ( max Zeichen )
