lokale Extrema bei einer mehrdimensionalen Funktion

Question

Bestimme die lokalen/globalen Extrema von

f(x,y,z)=1/x+1/y+xy

gradf=(-1/(x^2)+y, -1/(y^2) + x, 0)

damit ich die lokalen Extrema bestimmen kann, muss der Gradient Null sein. Danach muss ich die kritischen Stellen bestimmen, dh. ich muss mir zuerst die erste partielle Ableitung anschauen und mir überlegen, wann sie null wird.

aber -1/(x^2)+y=0 kann doch nie Null werden. Ich darf in diesem Fall für x nur positive und negative reelle Zahlen einsetzen, die Null ist nicht dabei.. 

Wie bestimme ich in diesem Fall die Extremstellen ?

Danke für die Hilfe !

Answer 1

> aber -1/(x²)+y=0 kann doch nie Null werden

Doch, und zwar wenn y = 1/x² ist.

Comments

Dh. mein erster kritischer Punkt ist 1/(x^2), der zweite 1/(y^2) und der dritte einfach Null. 
Dann muss ich die Hesse-Matrix bilden und diese Punkte jeweils für x, und y einsetzen? 
Stimmt das so ?

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> Dh. mein erster kritischer Punkt ist 1/(x²)

1/(x²) ist kein Punkt, kann also auch kein kritischer Punkt sein. Gleiches gilt für 1/(y²).

1. Partielle Ableitungen bestimmen:
   • ∂/∂x f(x,y,z) = -1/(x²) + y
     
   • ∂/∂y f(x,y,z) = - 1/(y²) + x
     
   • ∂/∂y f(x,y,z) = 0
2. Nullstellen der partiellen Ableitungen finden. Löse dazu das Gleichungssystem
           0 = -1/(x²) + y
           0 = - 1/(y²) + x
           0 = 0
3. Jede Lösung dieses Gleichungssystems besteht aus einem Wert für x, einem Wert für y und einem Wert für z. Setze jede Lösung in die Hesse-Matrix
   

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mein x=1/(y^2) und mein y=1/(y^2) und mein z=0

soll ich das in die Hesse-Matrix einsetzen ? 
tut mir leid, ich verstehe das noch nicht so ganz

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Du musst das Gleichungssystem lösen. So löst man Gleichungssysteme:

1. Wähle eine Gleichung.
2. Wähle eine Variable, die in dieser Gleichung vorkommt.
3. Stelle die gewählte Gleichung nach der gewählten Variable um. Schreibe die entstande Gleichung auf ein zweites Blatt.
4. Setze die Lösung in die übrigen Gleichungen ein.
5. Entferne die gewählte Gleichung aus dem Geichungssystem
6. Falls noch Gleichungen übrig sind, gehe zurück zu 1.

Wenn keine Gleichungen mehr übrig sind, kümmerst du dich um die Gleichungen auf dem zweiten Blatt:

1. Setze das Ergebnis der letzten Gleichung in die vorletzte Gleichung ein und rechne aus.
   
2. Setze das Ergebnis der letzten Gleichung und das Ergebnis aus Schritt 1 in die vorvorletzte Gleichung ein und rechne aus.
3. Setze das Ergebnis der letzten Gleichung, und de Ergebnisse aus Schritt 1 und 2 in die vorvorvorletzte Gleichung ein und rechne aus.
4. ... (bis du bei der ersten Gleichung angekommen bist.)
   

Beispiel: Das Gleichungssystem

    2a + b + c = 10
    2b + c = 12
    b - 1/2 c = 0

soll gelöst werden.

1. Ich wähle die dritte Gleichung
2. Ich wähle die Variable b
3. Die dritte Gleichung nach b umgeformt lautet
   (1)        b = 1/2 c
4. In die erste und zweite Glecihung eingesetzt ergibt
       2a + 1/2 c + c = 10
       2·1/2 c + c = 12
   
5. Das Gleichungssystem lässt sich vereinfachen zu
       2a + 3/2 c = 10
       2c = 12
6. Es sind noch zwei Gleichungen übrig.

1. Ich wähle die zweite Gleichung aus dem verbleibenden Gleichungssystem
2. Ich wähle die Variable c
3. Die zweite Gleichung nach c umgeformt lautet
   (2)        c = 6
4. In die erste Gleichung eingesetzt ergibt
        2a + 3/2·6 = 10
   
5. Das Gleichungssystem lässt sich vereinfachen zu
        2a + 9 = 10
6. Es ist noch eine Gleichungen übrig.

1. Ich wähle verbleibende Gleichung
2. Ich wähle die Variable a
3. Die Gleichung nach a umgeformt lautet
   (3)        a = 1/2

(2) in (1) eingesetzt liefert b = 3. Die Lösung lautet also a=1/2, b=3, c=6.