Vektorrechnung, Seitenlänge eines Vierecks berechnen

Question

Habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, welche Formeln wende ich hier an und wie sind die Vektorverknüpfungen?

Danke

Answer 1

a)

 \(\overrightarrow{AB}\)  =   \( \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \\ 1 \end{pmatrix}\)  =  \(\overrightarrow{DC}\)    ,   \(\overrightarrow{AD}\)  =  \( \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix}\)  =  \(\overrightarrow{BC}\)

 →  Das Viereck ist ein Parallelogramm    (Ersteres würde schon ausreichen)

|  \(\overrightarrow{AB}\) | = \(\sqrt{4^2+10^2+1^2}\) = \(\sqrt{117}\) 

| \(\overrightarrow{AD}\) |  = \(\sqrt{7^2+2^2+8^2}\) = \(\sqrt{117}\)

→  Das Viereck ist eine Raute    (alle Seitenlängen sind gleich)

 \(\overrightarrow{AB}\) •   \(\overrightarrow{AD}\)  = 28 -20 - 8 = 0   →    \(\overrightarrow{AB}\)  ⊥   \(\overrightarrow{AD}\) 

→ Das Viereck ist also sogar ein Quadrat  (alle Winkel haben das Maß 90°)

b)

 \(\overrightarrow{AC}\)  =  \( \begin{pmatrix} 11 \\ -8 \\ -7 \end{pmatrix}\)

Diagonalenlänge im Quadrat gleich:

| \(\overrightarrow{AC}\)| = | \(\overrightarrow{BD}\)| = \(\sqrt{11^2+8^2+7^2}\)  = \(\sqrt{234}\)

Gruß Wolfgang

Answer 2

AB(4 l-10l1)  BC(7l2l-8)  CD(-4l10l-1)   DA(-7l-2l8)

Bei Betrachtung der jeweiligen Koordinaten von AB und CD , sowie BC und DA fällt auf das unabhängig vom Vorzeichen gleiche zahlen vorhanden sind. Die Beträge dieser VEktorenpaare sind also gleich (lang). Das Vorzeichen ist aufgrund der Quadrierung zum Erhalt des Betrages zu vernachlässigen.

AB*BC = 0  (parallel)

CD*DA=    0 parallel

Das Viereck ist eine Raute

Comments

>  AB*BC = 0  (parallel)

> CD*DA=    0 parallel

Skalarprodukt = 0  →  senkrecht

>  Das Viereck ist eine Raute

Das ist damit nicht begründet   (es fehlt die Maßgleichheit der Seitenlängen) 

  (vgl. meine Antwort)