Lokale Extrema ermitteln. Bsp. 3. b) f(x,y) = x^2 -(y-1)^2

Question

hallo ich muss folgende 3 Bsp lösen , jedoch weiß ich nicht wie ich diese angehen soll . Bitte helft mir , wäre sehr nett ! 

Es geht um Ermittlung lokaler Extrema b) c) und d)

Answer 1

3b)f(x,y) = x^2 - (y-1)^2     f ' _x (x,y) = 2x      f ' _y (x,y) = - 2 ( y-1)  = -2y + 2 

  f ' _x (x,y) = 0   ⇔  x=0                und       f ' _y (x,y) =0     ⇔  y= 1

einziger krit. Punkt ( 0;1 ) .

f ' '_xx (0,1) * f ' '_yy (0,1)   -   f ' '_xy (0,1) ²  

=     2 *   (-2)             -          0 ^2

= -4 < 0    also ist dort kein Extrempunkt.

Comments

Vielen Dank für die Anwort, jedoch wie komme ich auf den kritischen Punkt ?und woher kommt diese Formel ,bzw. Rechnung ? Also wie setze ich die Punkte ein ?

f ' '_xx (0,1) * f ' '_yy (0,1)   -   f ' '_xy (0,1) ²  

=     2 *   (-2)             -          0 ²

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Die zweite Ableitung hängt hier gar nicht mehr von den Punkten ab,

es ist z.B. für alle Punkte f ' ' _xx = 2

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Nagut ich habs jetzt selbst herausgefunden, das ist einfach die Hess'sche Matrix und von der wird die Determinante gebildet .
Aber nochmal die frage, ich verstehe nicht ,wie man auf die kritischen Punkte kommt , bzw. was macht man mit den Kritischen Punkten dann ,also mit (0,1) ,wenn zb noch x und y in der Hesschen Matrix da stehen würde ?

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wäre z.B. die Hessematrix sowas wie

x+1         x+y

y^2           x

Dann müsstest du die Koordinaten des krit. Punktes einsetzen

und hättest mit (0,1)  dann

1       1
1       0 

also det = 0  -1   = -1

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Ah perfekt, jetzt bitte nur noch erklären wie ich auf die kritischen punkte komme.Kann ich das bei einer  gleichung  machen,also Ableitung dx oder dy 0 setzen und so x und y  zubekommen oder muss ich das bei beiden machen ?

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musst du bei beiden machen und schauen, ob es Punkte gibt, für die

das bei beiden stimmt.