Skalarfeld nach Vektorbetrag ableiten

Question

wenn ich ein Skalarfeld E(k)=|k-b| gegeben habe, mit k als reellem Vektor und b als konstantem Vektor, und ich möchte das nach k (=Betrag von k) ableiten, wie mache ich das?

Den Betrag kann man ja als Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selber auflösen.

Dann steht da etwas wie Wurzel (k²+b²-2kb). Aber wie leite ich das Produkt aus kb nach k ab?

Gruß

Comments

Ableiten kann man nur nach den Argumenten einer Funktion. Du kannst \(E=E(r,\varphi)\) in Polarkoordinaten oder \(E=E(r,\vartheta,\varphi)\) in Kugelkoordinaten schreiben und dann nach \(r=|\pmb{k}|\) ableiten.

Am wahrscheinlichsten ist aber, dass Du hier irgendwelchen Quatsch machen willst, der aus Unverstaendnis Deinerseits resultiert.

Gib doch einfach die ganze Aufgabe an.

Answer 1

üblicherweise wählt man folgenden Trick:

$$abs( \vec{ k }-\vec{ b })=\sqrt { k^2+b^2-2*k*b*cos(α) }  $$

wobei

$$k=abs( \vec{ k }) ;b=abs( \vec{ b })$$ und α ist der zwischen k und b Vektor eingeschlossene Winkel.

Wenn man jetzt den b-Vektor so ins Koordinatensystem legt, dass er parallel zur z-Achse liegt , ist α=Θ genau der Polarrwinkel von k.

-->

$$abs( \vec{ k }-\vec{ b })=\sqrt { k^2+b^2-2*k*b*cos(Θ) }  $$

Diese Gleichung kann man gut nach k ableiten.

PS: Das mit der Drehung des Koordinatensystems ist nicht zwingend notwendig, aber oft hilfreich für weiterführende Rechnungen

Comments

Dann hängt das Ergebnis noch von Theta ab?

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Ja, das Ergebnis hängt von 2 Größen k,Θ ab, weil ein Vektor k durch Länge und Richtung eindeutig charakterisiert wird.

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Alles klar, vielen Dank :)