b)
zuerst schreibe ich die Summe um,sodass sie die Form an*(x-x0)^n hat:
∑k=3∞ (x-2)^{3k}/(8^k+1)=∑n=1∞ (x-2)^n*an
wobei an= 1/(8^{n/3}+1) für n=3,6,9,....
und 0 sonst.
Cauchy-Hadamard-Formel:
r=1/(lim sup n-->∞ [abs(an)]^{1/n})
an ist immer größer gleich null, also kann man den Betrag in der Formel weglassen.
r=1/(lim sup n-->∞ (an)^{1/n})= 1/(lim sup n-->∞ (1/(8^{n/3}+1))^{1/n})=1/(lim n-->∞ (1/(8^{n/3}+1))^{1/n})=1/(1/2)=2
--> Summe konvergiert für x ∈ (0,4)
Außengrenzen testen: x=0:
Die entstehende Summe lautet ∑n=1∞ (-2)^n*an , dies ist nicht konvergent, da an nicht monoton fallend ist .
x=4: die ursprüngliche Summe lautet ∑k=3∞ 2^{3k}/(8^k+1)=∑k=3∞ 8^{k}/(8^k+1)
8^{k}/(8^k+1) ist keine Nullfolge,somit divergiert die Summe.
c)∑k=0∞ ak*x^k, ak=(-1)^k/(2^k*(2k-1))
selbe Formel für wie in Aufgabe a) (mit Betrag weil (-1)^k im Zähler) --> r=2
Außengrenzen: x=-2
Summe lautet dann )∑k=0∞ 1/(2k-1)>=∑k=0∞ 1/(2k) Harmonische Reihe --> divergent
x=2: Die Summe lautet nun )∑k=0∞ (-1)^k/(2k-1) --> konvergent, weil monoton fallende, alternierende Folge (Leibnitzkriterium)
