HIlfe bei Aufgabe zu Matrizen !

Question

Bei 3 a habe ich das Polynom denke ich richtig bestimmt (D=(x^4)-2(x^2)-1. Ich bin über den laplaceschen Entwicklungssatz auf die Lsg gekommen aber meine Frage ist nun ob man auch über ermittlung der Dreiecksform (Nur nulleinträge unterhalb der Hauptdiagonalen) und dem multiplizieren der einträge der Hauptdiagonalen auf ein ergebnis kommt, weil ich wirklich lange hin und her probiert habe und ich einfach nicht weiß ob es geht und wenn ja könnte mir da jemand paar tipps geben wo ich am besten anfange.

Bei b habe ich die Nullstellen denke ich richtig bestimmt weiß aber nicht wie ich diesen kosinusterm beweisen soll. Ich habe probiert das in die Gleichung aus a einzusetzen und das dann gleich null zu setzten komme aber nicht richtig auf ein ergebnis (lässt sich nicht weiter vereinfachen). Wenn ihr mir hier helfen könnten wäre ich euch sehr dankbar.

Liebe grüße :)

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Nach meinen Berechnungen ist$$D=\lambda^4-3\lambda^2+1=(\lambda^2-\lambda-1)\cdot(\lambda^2+\lambda-1).$$

Answer 1

Die Lösung aus dem Kommentar habe ich auch.

Entwicklung nach der 1. Zeile gibt ja ( mit L statt Lambda)

                     - L  1   0                                  1    1    0
- L *  det (   1    -L   1   )       -  1*  det (    0    -L   1   )
                      0    1  -L                                0     1   -L 

und die Dreierdeterminanten gehen ja auch nach Sarrus oder so.

  

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Für die Nullstellen bekomme ich mit der Zerlegung aus dem Kommentar
(√5 + 1 ) / 2   und  - (√5 + 1 ) / 2  und (√5 - 1 ) / 2   und   - (√5 - 1 ) / 2  .
Und das sind mit dem *2  auch die cos- Werte.
siehe https://socratic.org/questions/how-do-i-evaluate-cos-pi-5-without-using-a-calculator.