Häufungswerte und Teilfolgen bestimmen

Question

Sei x₀ = 1, x₁ = 1 und $$ { x }_{ n+2 }=\frac { 1+{ x }_{ n+1 } }{ { x }_{ n } }  $$ für n ≥ 0

i) Bestimme die Häufungswerte von $$ { ({ x }_{ n }) }_{ n=0 }^{ \infty  } $$

ii) Bestimme Teilfolgen, die gegen die Häufungswerte konvergieren

Answer 1

Berechne mal ein paar Folgenglieder. Ich erhalte

1 ; 1 ; 2 ; 3; 2 ; 1 ; 1, 2 ; 3 ; 2 ; ...

es wiederholen sich also zyklisch die ersten 5.

Damit sind 1; 2 und 3 Häufungspunkte

und gegen 1 konvergiert etwa die Teilfolge  (  a _5n+1 )_{n ∈ IN}

und gegen 2  (  a _5n )_{n ∈ IN} und gegen 3 (  a _5n+4 )_{n ∈ IN}.