Wie einfach zeigen, dass Menge, mit + und * ein Körper ist?

Question

Es soll gezeigt werden, dass die Menge ℚ(√3) = {a+b√3 | a, b ∈ ℚ}, zusammen mit Addition und Multiplikation von reellen Zahlen einen Körper bilden.

Ich weiß nun, dass ich alle Bedingungen für einen Körper prüfen muss. Aber da das bei den ersten beiden Bedingungen bedeuten würde alle Bedingungen für eine kommutatitve Gruppe zu prüfen, was verdammt viel Schreibarbeit wäre, wollte ich mich bei euch erkundigen, ob vielleicht jemand eine einfachere Methode kennt.

Bzw. ob ich etwas Wichtiges übersehe, weswegen ich nicht alles zeigen müsste. Evtl ist die Erwähnung von reellen Zahlen wichtig, aber ich sehe gerade nicht wieso.

Answer 1

Du kannst einiges sparen. Da es eine Teilmenge von IR ist und ort

Assoziativgesetz etc. gelten, gelten sie auch hier.

Du musst zeigen, dass die Menge die neutralen El. enthält und zu jedem das Inverse

bzgl + und * (außer bei 0)  und dass die Menge bzgl + und * abgeschlossen ist.