Polynomraum, euklidischer Algorithmus, Identität

Question

Für den größten gemeinsamen Teiler von f und g habe ich ggT(f, g) =  x + 2 raus. Stimmt das? Und wie zeige ich dass phi = -2 * id_v ist ?

Comments

Dein ggT passt. Mal eine einfache Überlegung: Mit deinem Ergebnis haben die beiden Polynome genau eine gemeinsame Nullstelle.

Answer 1

Ein Versuch zum zweiten Teil:
\(g(\Phi)=0\) impliziert \(\Phi=-2\cdot\operatorname{id}_V\) oder \(\Phi=3\cdot\operatorname{id}_V\).
Es ist \(f(-2\cdot\operatorname{id}_V)=0\) sowie \(f(3\cdot\operatorname{id}_V)=35\cdot\operatorname{id}_V\).
Falls \(\operatorname{char}K=5\) ist, gilt \(3\cdot\operatorname{id}_V=-2\cdot\operatorname{id}_V\).
Sonst gilt \(f(3\cdot\operatorname{id}_V)\ne0\), da nach Voraussetzung \(\operatorname{char}K\ne7\) ist.
Es bleibt \(\Phi=-2\cdot\operatorname{id}_V\).