Stetigkeit von sin(1/x) zeigen bzw. widerlegen (in 0).

Question

Ich soll prüfen ob sin(1/x) stetig ist:

$$ g ( x ) \left\{ \begin{array} { l l } { \sin \left( \frac { 1 } { x } \right) } & { : x < 0 } \\ { 0 } & { : x \leq 0 } \end{array} \right\} $$

Stetig ist, was ja eigentlich nur auf die Frage nach der 0 hinaus läuft.

Das Problem bei der Näherung von sin(1/x) an die 0 ist für mich, dass man doch unendlich viele 0-Stellen kurz vor der 0 bekomme.

Ich habe schon danach gesucht, und die Antwort war, dass die Funktion nicht stetig ist bzw. sich sin(1/x) an die 1 nähert. Eine Begründung oder WIE man das in diesem Fall heraus bekommt konnte ich nicht finden.

Answer 1

definiere zwei Folgen durch  a_n := 1/(2·π·n - π/2)  und  b_n := 1/(2·π·n + π/2)  für n > 0.
Es ist lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ b_n = 0.
Wegen lim_n→∞ g(a_n) = -1  und  lim_n→∞ g(b_n) = 1, existiert aber kein rechtsseitiger Grenzwert von  g(x)  für  x→0.
Analog zeigt man, dass auch kein linksseitiger Grenzwert von  g(x)  für  x→0  existiert.
Daraus folgt, dass  g  in  x = 0  nicht stetig ist.