Punktspektrum beweisen, Erklärungen !!

Question

Kann mir jemand erklären wie ich hier vor gehen könnte um das zu beweisen Am besten mit einem Ansatz

 Sei σ(A) := {λ : λ ist Eigenwert von A} das Spektrum von A. Zeigen Sie für k ∈N: σ( Ak)= {λk : λ ist Eigenwert von A . }

Bin dankbar für jede hilfe

Comments

Sollen das Potenzen sein?

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Oh Jaa soll es also A^k und λ^k

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Zeige dass \(\lambda^k\) Eigenwert von \(A^k\) ist für alle \(\lambda \in \sigma(A)\) und überlege dir (der wahrscheinlich "schwierigere" Teil), warum es keine weiteren Eigenwerte geben kann.

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Ok der erste Teil ist klar aber warum ist der zweite Teil so wichtig für die Aufgabe dass es keine anderen eigenwert existieren ??

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Weil der erste Teil von der Implikation her gesehen erstmal nur zeigt, dass \( \{\lambda^k: \lambda \in \sigma(A)\} \subseteq \sigma(A^k) \).

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Ah so ok Könnte Man den zweiten Teil dann nicht so beweisen in dem man A^k*w ungleich λ^k*w ist und dabei ist w ein eigenvektor von λ^k