Vektorrechnung, Geraden SP

Question

Hi, ich weiß, dass es ganz simpel ist, aber ich komme nicht drauf.

Gesucht ist der Punkt N.

Seine Richtung wird aus dem Koordinatenursprung mit u=(1-3 2) wahrgenommen. Aus dem anderen Punkt (-4 6 1) gesehen, befindet sich N in Richtng v=(2 -4 1)

Das LGS ergibt: u = 2, v = 3

Setzt man u oder v ein, sind die Ergebnisse aber unterschiedlich: u -> (2 -6 4), v -> (6 -12 3)

Warum? Vieln Dank!

Answer 1

das ist alles ein wenig unschön formuliert und aufgeschrieben. Der Punkt hat ja keine Richtung. Was hier eigentlich gesagt ist: Du hast zwei Geraden und diese schneiden sich im Punkt n.

Für die Lösung des LGS (und die Parameter der Geraden) solltest du am besten nicht dieselben Variablen nehmen wie die Richtungsvektoren.

Aber lange Rede kurzer Sinn: Du hast bei deiner zweiten Lösung (das was du als v=3 beschrieben hast) nach Multiplkation mit dem Faktor vergessen den Ortsvektor (-4 6 1) zu addieren.

Gruß

Answer 2

der Punkt N ist der Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Gleichungen:

\(\vec{x}\)  =  r •  \( \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\)  und  \(\vec{x}\) =   \( \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}\) +  s • \( \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit r,s ∈ ℝ

 r •  \( \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\)  =  \( \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}\) +  s • \( \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\) 

ergibt das LGS.   r - 2s = -4 und  -3r + 4s = 6 und 2r -s = 1

→  r = 2  und  s = 3  →  N( 2 | -6 | 4 )

Gruß Wolfgang

Comments

Grafisch bestätigt:

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%201%7C-3%7C2)%0Agerade(0%7C0%7C0%201%7C-3%7C2)%0Avektor(-4%7C6%7C1%202%7C-4%7C1)%0Agerade(-4%7C6%7C1%20-2%7C2%7C2)%0Apunkt(2%7C-6%7C4%20%22A%22)