Wie bestimme ich den Spurpunkt S der Geraden g1 mit der x1-x2-Koordinatenebene?

Question

Gegeben sind folgende Geraden: 
g₁: x (über dem x ist ein Pfeil) = (10 -3 15) (diese Zahlen bitte untereinander vorstellen; gemeint ist der Stützvektor) + k * (2 -1 4) (hier ist der Richtungsvektor gemeint; ebenfalls untereinander stehende Zahlen)
g₂: x (über dem x ist ein Pfeil) = (4 0 9) + r * (-1 0,5 2a) 

Meine Fragen:
a) Wie bestimme ich den Spurpunkt S der Geraden g₁ mit der x₁-x₂-Koordinatenebene? 
b) Wie gebe ich eine Gleichung der Geraden h an, die durch besagten Spurpunkt S geht und parallel zur x₃-Achse verläuft?
c) Wie kann ich die Lage der Geraden g₂ für a=0 beschreiben? 
d) Für welchen Wert von a schneiden sich die Geraden g₁ und g₂ im Punkt T(6 | -1 | 7)?

Answer 1

g₁:   \(\vec{x}\)  =   \( \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 15 \end{pmatrix}\)  +  r •  \( \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\)           g₂:   \(\vec{x}\)  =   \( \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}\)  +  s •  \( \begin{pmatrix} -1 \\ 0,5 \\ 2a \end{pmatrix}\)

a) Wie bestimme ich den Spurpunkt S der Geraden g₁ mit der x₁-x₂-Koordinatenebene?  

 s₃ = 0   → 15 + 4r_s = 0    →  r_s  = - 15/4   →   S( 5/2 | 3/4 | 0 )

b) Wie gebe ich eine Gleichung der Geraden h an, die durch besagten Spurpunkt S geht und parallel zur x₃-Achse verläuft? 

h:  \(\vec{x}\)  =   \( \begin{pmatrix} 5/2 \\ 3/4 \\ 0 \end{pmatrix}\)  +  r •  \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

c) Wie kann ich die Lage der Geraden g₂ für a=0 beschreiben?  

Die Gerade verläuft parallel zur x₁-x₂-Ebene durch die Punkte P(4|0|9) und Q(2|1|9)

d) Für welchen Wert von a schneiden sich die Geraden g₁ und g₂ im Punkt T(6 | -1 | 7)?

T muss auf g₂ liegen, also gilt: 

t₂ = 0,5 • s = -1  →  s = -2   →   t₃ = 9 - 4a = 7   →  4a = 2  → a = 1/2 

Gruß Wolfgang