Hilfe bei der Ableitung von: g(x)=ln √(1-sin(x)/1+sin(x))

Question

Kann mir einer bei der Ableitung helfen komm nicht weiter.

g(x)=ln √(1-sin(x)/1+sin(x))

Bitte mit einer Erklärung

Answer 1

Du musst hier mehrfach Kettenregel und Produktregel anwenden!

Ich gehe mal Stufe für Stufe vor:

$$ g ( x ) = \ln ( h ( x ) ) $$

mit

$$ h ( x ) = \sqrt { \frac { 1 - \sin ( x ) } { 1 + \sin ( x ) } } $$

Der nächste Schritt ist dann:

$$ h ( x ) = i ( j ( x ) ) $$

mit

$$ i ( x ) = \sqrt { x } \\ j ( x ) = \frac { 1 - \sin ( x ) } { 1 + \sin ( x ) } $$

Jetzt geht es zum Ableiten.

Also: Mit (ln x)' = 1/x gilt nach der Kettenregel:

$$ g ^ { \prime } ( x ) = \frac { h ^ { \prime } ( x ) } { h ( x ) } $$

Wiederum nach der Kettenregel gilt:

$$ h ^ { \prime } ( x ) = i ^ { \prime } ( j ( x ) ) \cdot j ^ { \prime } ( x ) $$

und

$$ i ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \\ i ^ { \prime } ( j ( x ) ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \frac { 1 - \sin ( x ) } { 1 + \sin ( x ) } } } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 1 + \sin ( x ) } { 1 - \sin ( x ) } } $$

 

Um j'(x) auszurechnen, muss man außerdem noch die Quotientenregel verwenden:

mit

$$ j ( x ) = \frac { k ( x ) } { l ( x ) } \\ k ( x ) = 1 - \sin ( x ) , \text { also } k ^ { \prime } ( x ) = - \cos ( x ) \\ l ( x ) = 1 + \sin ( x ) , \text { also } l ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x ) $$

folgt:

$$ j ^ { \prime } ( x ) = \frac { k ^ { \prime } ( x ) l ( x ) - k ( x ) l ^ { \prime } ( x ) } { l ( x ) ^ { 2 } } \\ j ^ { \prime } ( x ) = \frac { - \cos ( x ) ( 1 + \sin ( x ) ) - ( 1 - \sin ( x ) ) \cos ( x ) } { ( 1 + \sin ( x ) ) ^ { 2 } } \\ j ^ { \prime } ( x ) = - 2 \frac { \cos ( x ) } { ( 1 + \sin ( x ) ) ^ { 2 } } $$

Setzt man nun alle Gleichungen ineinander ein, so erhält man für g'(x):

$$ g ^ { \prime } ( x ) = \frac { h ^ { \prime } ( x ) } { h ( x ) } = \frac { i ^ { \prime } ( j ( x ) ) \cdot j ^ { \prime } ( x ) } { i ( j ( x ) ) } $$

$$ g ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \frac { 1 - \sin ( x ) } { 1 + \sin ( x ) } } } \cdot \frac { - 2 \cos ( x ) } { ( 1 + \sin ( x ) ) ^ { 2 } } \cdot \sqrt { \frac { 1 + \sin ( x ) } { 1 - \sin ( x ) } } \\ = - \frac { \cos ( x ) } { ( 1 + \sin ( x ) ) ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 + \sin ( x ) } { 1 - \sin ( x ) } \\ = - \frac { \cos ( x ) } { ( 1 + \sin ( x ) ) ( 1 - \sin ( x ) ) } \\ = - \frac { \cos ( x ) } { 1 - \sin ^ { 2 } ( x ) } = - \frac { \cos ( x ) } { \cos ^ { 2 } ( x ) } \\ g ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { \cos ( x ) } $$

Im letzten Schritt habe ich dann noch den Trigonometrischen Pythagoras

sin²(x) + cos²(x) = 1

also

1 - sin²(x) = cos²(x)

ausgenutzt.