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folgende Aufgabe ist gegeben:
Bild Mathematik
Auch wenn die Aufgabe nicht vollständig und korrekt ist, sind hier meine Ideen:
Bild Mathematik
Der untere Abschnitt war für mich etwas leichter, denn man erkennt eine quadratische Gleichung, die man mithilfe der pq-Formel oder Mitternachtsformel lösen kann. Von der II. zu III. Gleichung erkennt man, dass I(t) verschwindet und V zweimal vorkommt und u.a. I(t) ersetzt. Außerdem wird γ positiv und C steht vor der 2. Ableitung. Allgemein fällt mir die Schreibweise: y=f(x) leichter als d/dx. So könnte man die 1. Gleichung auch so schreiben: f(x)=1/C·g(x)=g(x)/C und f'(x)=g'(x)/C

Was ist richtig und was ist nicht korrekt?

Beste Grüße,

Asterix

Berichtigung: d=-C·λ2-γ·λ

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Hi,
das sieht alles etwas unübersichtlich aus. Ich mache es mal einfacher. Du hast zwei Dgl.
$$ (1) \quad V'(t) = \frac{1}{C} I(t) $$ und
$$ (2) \quad I'(t) = -\frac{\gamma}{C} I(t) + \delta\ (V_r - V(t))  $$ Aus (1) und (2) folgt
$$ (3) \quad V''(t) = \frac{1}{C} I'(t) = \frac{1}{C} \left( -\frac{\gamma}{C} I(t) + \delta\ (V_r - V(t)) \right) $$ Durch Multiplikation mit \( C \), alles auf eine Seite bringen und benutzten von (1) folgt
$$ (4) \quad C V''(t) + \frac{\gamma}{C} I(t) + \delta\ (V(t) - V_r) = \gamma V'(t) + \delta\ (V(t) - V_r) $$

Sei jetzt \( V(t) = e^{\lambda t } \) dann folgt durch differenzieren und einsetzten
$$ (5) \quad \lambda^2 C e^{\lambda t } + \lambda \gamma e^{\lambda t } + \delta e^{\lambda t } = 0 $$ Division durch \( e^{\lambda t } \) und \( C \) ergibt die charakteristische Gleichung.

Die Lösung enthält die Diskriminante \( \Delta = \gamma^2 - 4 C \delta \). Hier müssen die Fälle

$$ (a) \Delta > 0 $$ $$ (b) \Delta = 0 $$ $$ (c) \Delta < 0 $$ unterschieden werden.

Im Fall (a) gibt es zwei reelle Lösungen \( C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \text{ und }  C_2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot t} \), im Fall (b) gibt es die Lösungen \( C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \text{ und } C_2 \cdot t \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \) und im Fall (c) gibt es die komplexen Lösungen \( C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \text{ und }  C_2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot t} \) bzw. die reellen Lösungen $$ e^{ a } \left( C_1 \cos(b)  + C_2 \sin(b) \right) $$ mit \( a = \Re(\lambda) \) und \( b = \Im(\lambda) \)

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ullim,

vielen Dank für Deine Unterstützung! Ich finde die Schreibweise ohne d/dt in der Tat übersichtlicher. Ich habe mir den kompletten Rechenweg angeschaut und weiß auch jetzt wofür ℜ und ℑ stehen (Real- sowie Imaginärteil der komplexen Zahl z bzw. λ). Ich habe noch eine Frage zu der Diskriminante: Fehlt im Nenner 4C2Müsste es dann nicht so lauten:
Bild Mathematik

Obwohl, kann nicht stimmen, da die 4 doppelt vorkommt. Also wird Δ ohne 4C² im Nenner richtig sein. Ich habe mich geirrt.

$$\Delta ={ \gamma  }^{ 2 }-4C\delta $$

Nochmals vielen Dank ullim und ich wünsche Dir noch einen schönen Abend und ein schönes Wochenende.

Asterix

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