allgemeine Lösung DGL bestimmen

Question

Bestimmen sie die allgemeine Lösung des Differenzialgleichungssystems

$$ \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 20 \\ -1 & -6 \end{array}\right) \boldsymbol{x}(t) $$

Hey

komme bei der Aufgabe nicht weiter... kann mir jemand bitte weiterhelfen?

LG mathelow00

Answer 1

Hallo,

1) x1'= 2x1 +20x2

2) x2'= -x1 -6x2

--------------------------

2) x2'= -x1 -6x2 umstellen nach x1

x1= -x2'-6x2

x1' =-x2''-6x2' einsetzen in 1)

--------<

x1'= 2x1 +20x2

-x2''-6x2' =2(-x2'-6x2) +20x2

-x2''-6x2' =-2x2'-12x2 +20x2

-x2''-6x2' =-2x2'+8 x2

x2''+6x2' -2x2'+8 x2=0

x2''+4x2'+8 x2=0

x2= -2 ±√(4 -8)

x2= -2 ±√-4

x2= -2 ± 2i

x₂= C₁ e^(-2t) cos(2t) +C₂ e^(-2t) sin(2t)

x1= -x2'-6x2

x1= ....

\( x=c_{1} e^{-2 t}\left(\cos (2 t)\left(\begin{array}{c}-4 \\ 1\end{array}\right)-\sin (2 t)\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0\end{array}\right)\right)+c_{2} e^{-2 t}\left(\cos (2 t)\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0\end{array}\right)+\sin (2 t)\left(\begin{array}{c}-4 \\ 1\end{array}\right)\right) \)