Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL x˙ = (x^2+tx+t^2)/t^2

Question

Ich habe im Moment Probleme mit dieser Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL x˙ = (x^2+tx+t^2)/t^2 d.h. die Lösungen durch einen beliebigen Punkt (t0, x0) des Definitionsbereiches R∗ × R.

Ich forme zuerst um also: 

dx/dt=(x^2+tx+t^2)/t^2 

⇔t^2 dx=(x^2+tx+t^2)dt

⇔∫t^2 dx=∫(x^2+tx+t^2)dt      was sind hier die Grenzen des Integrals? Ist das der Punkt (t0,x0)?Oder ist das ein unbestimmtes Integral?

Also das aufleiten krieg ich auch noch hin, aber wie gehts weiter?

Comments

" t^2 dx=(x^2+tx+t^2)dt " 

kannst du mE nicht einfach so integrieren, da die Variabeln nicht getrennt sind. 

Answer 1

x ' =(x^2 +tx+t^2)/t^2

x ' =(x/t)^2 +x/t+1

Substitution : z= x/t

x= z *t

x' = z' *t +z

eingesetzt in die Aufgabe:

_{z' t +z= z^2+z +1  | -z}

_{z' t = z^2 +1}

_{(dz/dt) t = z^2 +1} 

_{∫dz/(z^2 +1) = ∫dt/t}

_{arc tan(z) = ln|z| +C1}

_{x= t * tan(C1 +ln|t|)}