Prüfe ob folgende Mengen Untergruppen sind

Question

Hallo.

Ich hab für a) raus dass x=2/3  ≠  10x∈ℤ weshalb ich sagen würde dass a) keine Untergruppe ist. Stimmt das?

und bei b) weiß ich nicht weiter :(

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Untergruppen bezüglich der Addition oder der Multiplikation?

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Das ist die gesamte Aufgabe :X

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(ℚ,·) ist keine Gruppe, kann also keine Untergruppen haben.

(ℚ,+) ist eine  Gruppe. Untergruppen erben die Verknüpfung von ihrer Obergruppe.

Es ist wohl (ℚ,+) gemeint.

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> x=2/3  ≠  10x

Also du meinst, wenn x=2/3 ist dann ist 10x ≠ 2/3. Damit hasst du recht. Gleiches gilt für fast alle Zahlen, nicht nur für 2/3. Das hilft aber bei der Beurteilung der Gruppeneigenschaft nicht. Es gilt ja noch nicht ein mal 2/3∈U.

Stattdessen:

1. Wähle eine Zahl aus U.
2. Wähle eine zweite Zahl aus U.
3. Prüfe ob die Summe der Zahlen in U ist.
4. Falls nicht, dann ist U keine Untergruppe. Falls doch, dann
   • zeige dass das für jede Zahl aus U gilt oder
   • gehe zurück zu 1.

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Wieso gilt das nicht für U? Ich dachte es gilt, weil x∈ℚ

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> Wieso gilt das nicht für U?

Wieso gilt was nicht für U?

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"Es gilt ja noch nicht ein mal 2/3∈U" hast du gemeint

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Das zehnfache von 2/3 ist 20/3.

20/3 ist keine ganze Zahl.

In U sind nur die Zahlen enthalten, deren zehnfaches eine ganze Zahl ist.

Answer 1

also bei Aufgabe a) ist mit jedem \( \frac{a}{b} \in U \) auch \( -\frac{a}{b} \in U \). Außerdem ist \( 0 \in U \).

Für \( \frac{a_1}{b_1} \in U \) und \( \frac{a_2}{b_2} \in U \), das heißt \( 10b_1 = z_1 \) und \( 10b_2 = z_2 \) für existierende \( z_1, z_2 \in \mathbb{Z} \) gilt

\( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{b_1 b_2} \).

Dieser Ausdruck ist wegen \( 10 b_1b_2 = z_1b_2 \in \mathbb{Z} \) in \( U \) und folglich ist \( U \) abgeschlossen bezüglich der Gruppenoperation (Addition).

Bei b) sind inverses und neutrales Element genauso trivial wie bei a). Für zwei Elemente \( \frac{a_1}{b_1} \in U \) und \( \frac{a_2}{b_2} \in U \) gilt wieder

\( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{b_1 b_2} \).

Da das Produkt zweier ungerader Zahlen (\( b_1 \) und \( b_2 \)) wieder ungerade ist, ist auch diese Menge abgeschlossen unter der Gruppenoperation (Addition) und folglich eine Gruppe.

Mister

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Vielen Dank für die verständlich erklärte Lösung :)

Das hat mir sehr geholfen.

Schönen Tag!