Lineare Abhängigkeit und Rang

Question

Ich brauche hierbei Hilfe, wie kann ich das zeigen?

Seien K ein Körper, A ∈ M_mn (K), und seien v_1,..., v_r   ∈ Kⁿ

Beweisen sie:

1. Sind  v_1,..., v_r   Linear abhängig, so sind auch  Av_{1 ,...,} Av_r   Linear abhängig.

2. Sind  v_1,..., v_r   Linear unabhängig und ist Rg(A) = n, so sind Av_{1 ,...,} Av_r   Linear unabhängig.

Comments

Das Wort "linear" ist ein Adjektiv. Man schreibt es klein.

Answer 1

zu 2)

Wenn ihr einen Satz bewiesen habt wie:   Die Dim des Lösungsraumes eines

homogenen lin. Gl. syst. ist immer:   Anz. der Variablen - Rang der Matrix

Dann ist es noch einfacher:

Du nimmst einfach eine Linearkomb der Av1, .... , Avr  und setzt sie gleich

dem Nullvektor, etwa so x1*Av1  + ....  + xr*Avr   = 0     #   also

          nach Umformen  A ( x1v1 + ...... + xrvr ) = 0

Und y=x1v1 + ...... + xrvr ist ein Vektor mit n Komponenten , also gibt es n Variablen y1;...yn

und rang(A) = n  also ist ist dim L = 0   und damit yi = 0 für alle i, also ist

y = x1v1 + ...... + xrvr der Nullvektor.

Weil die vi aber lin. unabh. sind geht das nur für xi=0 für all i.

Also folgt aus # dass xi = 0 für alle i, also  Av1, .... , Avr lin. unabh.