Bestimme das orientierte Integral?

Question

Gegeben ist die Funktion:

f(x)= 4(0.5x-4)^3

Durch Aufleitung erhalte ich die Stammfunktion:

F(x)= 2(0.5x-4)^4+c

Der Punkt P (4/12) ist gegeben, somit kann ich die Stammfunktion die durch diesen Punkt geht errechnen:

2(0.5*4-4)^4+c=12 -> c= -20 -> F(x)= 2(0.5x-4)^4-20

Soweit so gut. Nun soll das orientierte Integral zwischen den Grenzen x=8 und x=12 bestimmt werden:

Mein Ansatz: I (4(0.5x-4)^3) dx =

Jetzt komme ich nicht weiter, da ich mir nicht sicher bin wie ich weiter vorgehen muss. Die Funktion die in dem Integral angegeben ist muss nun aufgeleitet werden oder?

Answer 1

f(x)= 4(0.5x-4)³
F(x)= 2(0.5x-4)⁴-20

" Soweit so gut. Nun soll das orientierte Integral zwischen den Grenzen x=8 und x=12 bestimmt werden: "

  orientiertes Integral = bestimmtes Integral

  Die Funktion f  hat eine Nullstelle bei x = 8. Die Fläche des Integral liegt also komplett
im positivem oder negativem Bereich ( für x = 10 ist f(10) = 4, also im positivem Bereich ).

  [ 2 * ( 0.5 * x - 4 )⁴ - 20 ] ₈ ¹² ( Stammfunktion zwischen 8 und 12 )
  [ 2 * ( 0.5 * 12 - 4 )^4 - 20 - ( 2 * ( 0.5 * 8 - 4)^4 - 20 ) ]
  12 - (  - 20 )
  32

  Das müßte es sein.

  mfg Georg

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Comments

Man braucht hier die Integrationskonstante nicht unbedingt. Ohne ist es vielleicht noch etwas einfacher auszurechnen.

∫ _{8 bis 12} 4·(0.5·x - 4)^3 dx = [2·(0.5·x - 4)^4] _{8 bis 12} = (32) - (0) = 32