Komplexe Zahlen (z-(1+i))^3 = -8i

Question

Hallo liebe Mathelounger,

ich hab da mal eine Frage. Und zwar lautet die Aufgabe so:

Geben sie die Lösungen von (z-(1+i))^3 = -8i in kartesischen Koordinaten an.

Wie muss ich jetzt ansetzen. Erstmal nach z auflösen? 

Answer 1

(z - (1+i) )³   = -8i

und -8i hat zur pos. x-Achse einen Winkel von 270°

also haben die 3. Wurzeln Winkel von 90° = pi/2  oder 210° = 7pi/2 

oder 330°  =  11pi/2    also 

z - (1+i)    = 2i  

oder  z - (1+i)    = 2* ( cos(210°) + i*sin (210°) ) =  -√3  - i

oder   z - (1+i)    = 2* ( cos(330°) + i*sin (330°) ) = √3  - i

Also  z = 1 + 3i  oder  z = 1 -√3  oder  z = 1 +√3

Answer 2

Auflösen mit bin. Formeln ergibt:

z³-3z²-3iz²+6iz+2-2i= -8i    | +8i

z³-3z²-3iz²+6iz+2+6i=0 

es gilt:

(2i)³= -8i  ,also

z-i-1=2i   | +i+1

z1=1+3i

Polynomdivision von

(z³-3z²-3iz²+6iz+2+6i):(z-1-3i)=z²-2z-2 

Mit pq-Formel:

z2=1+√3

z3=1-√3

Die Lösungen für z sind also:

z1=1+3i         z2=1+√3       z3=1-√3