Wie kann ich folgendes Integral mit der Formel von Cauchy berechnen?

Question

Hallo :)

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe. Und zwar soll ich das Integral $$\oint _{ |z|=\frac { 1 }{ 2 }  }^{  }{ \frac { { e }^{ 1-z } }{ { z }^{ 3 }\cdot \left( 1-z \right)  } dz } \quad \left( * \right) $$ mit der Formel von Cauchy berechnen.

Die Cauchy'sche Integralformel sieht folgendermaßen aus: $$f(w)=\frac { 1 }{ 2\pi i } \cdot \oint _{ |z-{ z }_{ 0 }|=r }^{  }{ \frac { f(z) }{ z-w } dz\quad (**) } $$

Dabei sind z,w∈ℂ und r der Radius.

Ich weiß leider nicht wirklich wie ich da ran gehen soll. Ich habe mir gedacht, dass ich mein Integral (*) in die Form von Cauchy (**) bringen muss, um dann irgendwie den Wert des Integrals "ablesen" zu können. Nur weiß ich leider nicht wie ich das anstellen soll.

Ich habe gedacht, dass man auch eventuell die Exponentialreihe gebrauchen könnte um das e^1-z anders schreiben zu können:  $$exp(1-z)=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( 1-z \right)  }^{ n } }{ n! }  }  $$

Oder dass man vielleicht durch eine Kurve γ(t)=e^it parametrisiert, um das Integral lösbar zu machen.

Ich wäre für einen Tipp sehr dankbar :)

Comments

Du verwechselst da was. Den Integralsatz von Cauchy (bzw. den Residuensatz als seine Verallgemeinerung) sollst Du anwenden, nicht die Cauchysche Integralformel. Du muesstest doch selber sehen, dass die hier gar nicht zu passt. Das Integral hat doch gar keinen freien Parameter.

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Wo besteht denn der Unterschied zwischen dem Integralsatz von Cauchy und der Cauchyschen Integralformel? Ist das eine nur für geschlossene Wege und das andere für holomorphe Funktionen auf einer Kreisscheibe?

Weil die Aufgabe lautet ja: "Berechnen Sie mit Hilfe der Formeln von Cauchy" . Deswegen dachte ich, dass ich die Cauchy'sche Integralformel

verwenden soll. :)

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Von Cauchy gibt es viele Formeln. Mit Deiner rechnet man jedenfalls keine Integrale aus. Dafuer aber mit dem Residuensatz:

https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_theorem

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Okay Danke :)

Nur hatten wir dem Residuensatz leider gar nicht. Gibt es denn noch eine andere Möglichkeit das Integral auszurechnen?

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Schreibe den Integranden als Reihe: e^-z/(1-z) als eine Potenzreihe um 0. Dann noch durch z³ teilen und gliedweise integrieren.

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Okay Dankeschön :D

Das sollte hinhauen :)

Answer 1

z_1,2,3 =0  ->liegt im Inneren

z₄= 1       ->außerhalb

Lösung durch Partialbruchzerlegung:

1/(z^3(1-z))=   (-1)/(z^3(z-1))= A/(z-1) +B/z+C/z^2 +D/z^3

A= -1

B=C=D=1

->

f(z)=2πi(e^(1-z))/1-z)

f(0)=2 πei