Aufg 1) Nein genau genommen geht es hier nicht um den Cauchysatz, sondern um den Residuensatz.
Bestimmen wir die Wurzeln des Polynoms
z ² - p z + q = 0 ( 1a )
Am Schnellsten geht es mit Vieta dem geschmähten Stiefkind.
p = 2 Re ( z0 ) = ( - 4 ) ===> Re ( z0 ) = ( - 2 ) ( 1b )
q = | z0 | ² = 5 ===> | z0 | = sqr ( 5 ) ( 1c )
Nach Pythia und Gorilla bekommen wir damit die ganze ===> Gaußsche Zahl
z0 ; z0 * = - 2 +/- i ( 2 )
Lösungsstrategie ist der Residuensatz . Und zwar liegen beide, z0 wie z0 * außerhalb unseres Dreiecks. z1 = 1 liegt jedoch im Innengebiet; und der zu z1 adjungierte Integralkern ist
exp ( - z )
G ( z ; 1 ) = ------------------------ ( 3a )
z ² + 4 z + 5
Von Daher hat diese Metode auch den Spitznamen Abdecker-oder Zuhälterverfahren. Weil um den Integralkern zu erhalten, " deckst " du alles, was singulär wird, ( mit der Hand ) " ab " oder " hältst es zu "
Du solltest dir die Cauchysche Integralformel ( CIF ) zu Gemüte führen; diese besagt in Worten; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel
" Das Residuum ist der Funktionswert des Integralkerns an der Polstelle. "
( 1 / 2 Pi i ) $ = G ( 1 ; 1 ) = 1 / ( 10 e ) ( 3b )
Aufg 3) Integrationsweg ist der Kreis mit Radius R = 2 . Diesmal lautet der Integralkern
G ( z ; 0 ) = 2 exp ( z ) ( 4a )
Höhere Polstellen entsprechen stets höheren Ableitungen; eine doppelte Polstelle entspricht erster Ableitung:
G ' ( z ; 0 ) = 2 exp ( z ) ( 4b )
( 1 / 2 Pi i ) $ = G ' ( 0 ; 0 ) = 2 ( 4c )
