Untervektorräume des Lösungsraums der Differentialgleichung y'''+9y''+10y'+y=0

Question

Aufgabe:

Sei L der reelle Vektorraum aller Lösungen φ:ℝ→ℝ der Differentialgleichung

y'''+9y''+10y'+y=0.

Entscheiden Sie für jede der folgenden Teilmengen U_i von L, ob U_i ein Untervektorraum ist, und bestimmen Sie in diesem Fall die Dimension von U_i:

U₁ := {φ∈L | φ(1)=0}.

U₂ := {φ∈L | φ(0)=1}.

U₃ := {φ∈L | φ'(-1)=0}.

Eventuell würde es reichen, wenn nur ein U_i vorgerechnet wird, die anderen würde ich dann sicher auch alleine schaffen.

PS: Es wird extra erwähnt, dass es unzweckmäßig ist, die Lösungen der Differentialgleichung explizit zu bestimmen! (Wie man auch hier sieht: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%27%2B9y%27%27%2B10y%27%2By%3D0)

Comments

WolframAlpha gibt dir mit der Summe dieser drei Exponentialfunktionen einen Lösungsraum an. c1,c2,c3 sind unabhängig voneinander. Dimension müsste also 3 sein.
Jetzt ist wohl die Frage, ob eine dieser Einschränkungen dazu führt, dass eine Funktionenschar beschrieben ist, die abgeschlossen ist bezüglich der üblichen Operationen in einem Vektorraum.
Phi(0) = 1 würde wohl heissen, dass c1+c2+c3 = 1.
Wenn man nun 2 solcher Funktionen addiert ist dann deren Phi(0) = 2 und gehört nicht mehr zur Funktionenschar  Phi(0) = 1.

Phi(1) = 0. Nun müsste man sich mit den komplexen Exponenten etwas besser auskennen. Das sind ja Nullstellen von Polynomen und die haben bestimmte Lagen in der Komplexen Ebene. Ist es möglich, dass sie ein gleichseitiges Dreieck um 0 bilden. Dann würde phi(1)= 0 heissen, dass c1=c2=c3. Hier kann man die Funktionen wenigstens beliebig addieren. Könnte also ein Untervektorraum sein. Dimension wäre 1.

Ähnlich wie Phi(1)=0 vielleicht auch Phi'(-1) = 0.

Überprüfe aber als Erstes noch die Definitionen.

Die Schritt für Schritt Lösung deiner DGL wird von WolframAlpha leider nicht gezeigt. Ich gehe davon aus, dass auch hier Nullstellen (allerdings komplexe) eines Polynoms (3. Grades) bestimmt werden, wie bei https://www.wolframalpha.com/input/?i=8y%27%27%2B10y%27%2By%3D0
Hier kann man den Lösungsweg sehen.

8y'' + 10y' + y=0
Annahme eine Lösung ist proportional zu y=e^{kx} führt zur Gleichung 8k^2 + 10k + 1 = 0

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Untervektorraum

Ein Untervektorraum eines Vektorraums \(V\) über einem Körper \(K\) ist eine Teilmenge \(U\) von \(V\), die bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation von \(V\) abgeschlossen ist und die null enthält, also:

1. \(0 \in U\),
2. Für alle \(u, v \in U\), gilt \(u + v \in U\),
3. Für alle \(c \in K\) und \(u \in U\), gilt \(cu \in U\).

U₁ := {φ∈L | φ(1)=0}

Wir untersuchen, ob \(U_1\) einen Untervektorraum bildet.

- Abgeschlossenheit unter Addition: Angenommen, \(φ_1, φ_2 \in U_1\), d.h., \(φ_1(1) = φ_2(1) = 0\). Betrachten wir die Summe \(φ_1 + φ_2\). Es gilt:
\( (φ_1 + φ_2)(1) = φ_1(1) + φ_2(1) = 0 + 0 = 0 \)
Da die Summe beider Funktionen wieder die Bedingung der Teilmenge erfüllt, sind sie unter Addition abgeschlossen.

- Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation: Wenn \(c\) ein Skalar ist und \(φ \in U_1\), dann gilt für \(cφ\):
\( (cφ)(1) = c(φ(1)) = c \cdot 0 = 0 \)
Das Produkt eines Skalars mit einer Funktion der Menge erfüllt also auch die Bedingung.

- Nullfunktion: Die Nullfunktion, die jeder reellen Zahl die \(0\) zuordnet (\(φ(x) = 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)), ist offensichtlich in \(U_1\), da \(φ(1) = 0\).

Da alle Bedingungen erfüllt sind, ist \(U_1\) ein Untervektorraum.

Dimension von \(U_1\): Ohne die spezifische Lösung der Differentialgleichung zu bestimmen, wissen wir aus der allgemeinen Theorie linearer homogener Differentialgleichungen, dass die Dimension des Lösungsraums der Differentialgleichung gleich der Ordnung der Gleichung ist. In diesem Fall, wo die Differentialgleichung vom Grad 3 ist, ist die Dimension des Lösungsraums 3. Diese Dimension bezieht sich auf den gesamten Raum \(L\) der Lösungen. \(U_1\), mit der zusätzlichen Bedingung \(φ(1)=0\), schränkt die möglichen Funktionen ein, aber nicht direkt die Basisvektoren in einer Weise, die ohne die explizite Bestimmung der Lösungen quantifiziert werden kann. Theoretisch reduziert eine Bedingung wie \(φ(1)=0\) die Dimension des Raums, da es die Unabhängigkeit der Lösungen beeinflusst, aber ohne die Lösungen zu kennen, können wir nicht genau sagen, wie.

Für \(U_2\) und \(U_3\) erfolgt die Untersuchung nach demselben Prinzip. Ohne die explizite Form der Lösungen sind wir beschränkt in unserer Fähigkeit, präzise Aussagen über die Dimensionen dieser Unterräume zu machen. Jedoch kann argumentiert werden, dass solche, durch spezielle Bedingungen definierte Unterräume, in der Regel eine geringere Dimension haben als der gesamte Lösungsraum. \(U_2\) ist allerdings kein Untervektorraum, da die Nullfunktion nicht in \(U_2\) enthalten ist, weil die Bedingung \(φ(0) = 1\) für die Nullfunktion nicht erfüllt ist. \(U_3\) wäre hingegen nach ähnlichen Kriterien wie \(U_1\) ein Untervektorraum.