Kurvendiskussion von f(x) = x^4-2x^2. Was habe ich falsch gemacht?

Question

Ich habe bis jetzt die Nullstellen und Extremstellen ausgerechnet, doch wenn ich mir die funktion anschaue (gezeichnet), dann befinden sich die Extrempunkte & Nullstellen ganz wo anders ; habe ich bei den Rechnungen etwas falsch gemacht?

Answer 1

Bei den Nullstellen hast du x² ausgeklammert und trotzdem in die Klammer noch die 2x mit reingenommen.

Die richtigen Lösungen für die Nullstellen wären ±√2.

Deine Extremaberechnung stimmt soweit. Es fehlt aber noch die hinreichende Bedingung.

Hier die Funktion:

 ~plot~x^4-2x^2~plot~

Comments

Dankeschön wäre die hinreichende Bed. So richtig?

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Nein!

Die hinreichende Bedingung der Extrema hat nichts mit dem Wendepunkt zu tun!

Bei der h. Bed. setzt du einfach deine x-Werte, die du aus der notwendigen Bedingung(f '(x)=0) erhalten hast in die zweite Ableitung ein und schaust dann ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Ist das Ergebnis des Einsetzens negativ liegt ein Hochpunkt vor. Ist es positiv dann gibt es an der Stelle einen Tiefpunkt.

Was du in deiner Rechnung gemacht hast:

Du hast die notwendige Bedingung für die Wendepunkte erfüllt!

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Ich dachte , dass ich die hinreichende BedinghinreichendeExtremstellen erfüllt habe, denn ich habe ja das was bei X rauskam in die Ursprungsfunktion eingesetzt und die Y Werte rausgekriegt also E1 (0|0) E2 (1|-1) und E3 (-1|-1) ist das nicht alles so vollständig? Denn unser Lehrer hat uns das nur so beigebracht, um die Y Werte rauszukriegen , kannst du mir eine kleinigkeit vorrechnen, damit ich genau weiß, was du meinst (wäre nett, denn bin etwas verwirrt)

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Ja genau! Das macht man auch um die y-Werte zu erhalten. Aber das ist nicht die hinreichende Bedingung. Hier würde man folgendes machen:

f ''(x)=12x²-4

Die x-Werte deiner Extremstellen sind:

x1=0  x2=1  x3= -1

Diese setzt man nun in die zweite Ableitung ein:

f ''(x1)= -4   -> Das Ergebnis ist negativ, also liegt an der Stelle ein Hochpunkt vor

f ''(x2)=8     -> Das Ergebnis ist positiv, also ist hier ein Tiefpunkt

f ''(x3)=8      -> Das Ergebnis ist wieder positiv also ist hier wieder ein Tiefpunkt.

Das wäre die hinreichende.

Übrigens: Solltest du bei Einsetzen in die zweite Ableitung 0 bekommen, liegt an der Stelle kein Extremum vor!

Deshalb macht man die hinreichende. Anschließend würde man in solch einem Fall auf einen Sattelpunkt prüfen, aber das lernt ihr sicher noch ;)

Hast du es denn jetzt verstanden?

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Ok, das hatten wir noch nicht, aber habe was neues dazugelernt und kann für die Arbeit nicht schaden Danke sehr :-)

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Super das wollt ich hören ;)

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Übrigens: Solltest du bei Einsetzen in die zweite Ableitung 0 bekommen, liegt an der Stelle kein Extremum vor!

Aha. Ich werde das mal bei x = 0 und der Funktion f(x) = x^4 prüfen!

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Okay lieber Gast cb7299! Danke dass du es ansprichst! Bei z.b f(x)=x⁴ liegt eine Ausnahme vor. Zur Identifikation eines Extremums kann man natürlich noch das Steigungsverhalten prüfen:

Bei einem Hochpunkt muss dabei Verständlicherweise die Steigung positiv sein (bei Annäherung von links), und nach dem Hochpunkt muss die Steigung folglich abfallen.

Rechnung bei x⁴:

f '(x)=4x³=0     -> mögl. Extremum bei x1=0

hinreichende Bedingung:

f ''(x1)=0

Betrachten des Graphen und des Steigungsverhaltens:

Rechnerisch setzt man nun x-Werte , die direkt links und rechts an der Stelle liegen in f '(x) ein.

Beispiel:

von links kommend:

f '(-0,1)= -1/250   -> Steigung der Funktion ist kurz vor dem möglichen Extremum negativ

f '(0,1)= 1/250     -> Steigung ist kurz nach dem möglichen Extremum positiv

Schluss:An der Stelle x=0 liegt ein Tiefpunkt vor

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@gast7299: guter Hinweis! Da hast du bei mir eine Wissenslücke geschlossen.

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Eigentlich braucht man nichts einsetzen denn man sollte wissen wie der Graph von 4x^3 verlauft. Das ist ja eine streng monoton steigende Funktion also Nulldurchgang von - nach +.

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Ja das stimmt natürlich. Ich sage meinen nachhilfeschülern aber ungern, dass man dies oder das einfach wissen muss (mal abgesehen von bestimmten Formeln oder regeln). Besser finde ich es, wenn man einen Überblick über die notwendigen Verfahren hat.

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Statt  "Eigentlich braucht man nichts einsetzen"  vielleicht besser

"Man kann  x-Werte , die direkt links und rechts an der Stelle liegen  gar nicht einsetzen", denn die gibt es gar nicht.

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Streiche direkt dann passt es und reite nicht auf jedem kleinen Wort herum.

Wir wissen doch alle wie das direkt hier gemeint ist.

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Ja das ist wohl wahr lieber Gast. Eine ungünstige Formulierung meinerseits.