Tropfinfusion diffenzialgleichung und terme `?

Question

Einem Patienten wird über eine Tropfinfusion ein Medikament verabreicht, das zuvor im Körper nicht vorhanden war. Pro minute gelangt dabei eine menge von 4mg ins blut. anderseeits beginnt die niere das im Blut angerrechert medikament wieder auszuscheiden; die momentane Auscheidungsrate beträgt dabei 5% pro minute der jeweils im blut aktuell vorhandenen menge ds medikamtens m(t)

a) Welche diffenzialgleichung legt die zeitliche Entwicklung der Menge m(t) nahe?

b) Geben Sie den term der funktion an, die diese differenzialgleichun löst. zeigen dass diese Tropfinfusion auf lange sicht zu einer konstanten menge des medikaments im blut fürht. Geben die siesen mavimalen wert an. Wann ist dieser zu 90% erreicht?

ich habe leider nicht mal einen gescheiden ansatz leider.

fühle mich grad verloren^^

bitte um hilfe?

Comments

Zugegeben kenne ich mich mit Differenzialgleichungen auch nicht so aus. Aber was hälst du von

f'(x) = 4 - 0.05 * f(x)

Wolframalpha bekommt damit

f(x) = a * e^{-0.05 * x} + 80
Mit der Anfangsbedingung f(0) = 0 wird daraus
f(x) = 80 - 80 e^{-0.05 x}

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80 - 80·e^{- 0.05·x} = 0.9·80 --> x = 46.05 min

Answer 1

x in Minuten, m(x) in mg

a)

m'(x) = 4 - 0,05 • m(x)

b)

m' + 0,05 • m = 4

Ansatz für homogene DGL:   m = e^r·x

Einsetzen in homogene DGL:   r • e^rx + 0,05 • e^r·x = 0

→  charakteristische Gleichung:   r+0,05 = 0  → r = -0,05

allgemeine Lösung homogenes System:  m_H = c • e^-0,05·x  

spezielle Lösung inhomogene DGL:  m_S = 80  (= 4/0,05)

allgemeine Lösung: y = y_H + y_S

Allgemeine Lösung der DGL:   m(x) = c • e^-0,05·x  + 80

m(0) = 0 →    c • e^-0,05·0  + 80 = 0   →  c = - 80

m(x)  =  - 80  e^-0,05·x  + 80 

zeigen dass diese Tropfinfusion auf lange Sicht zu einer konstanten Menge des Medikaments im Blut führt. Geben die diesen maximalen Wert an. 

- 80 • e^-0,05·x  + 80  →   80   für x→ ∞ , weil e^-0,05·x → 0

Wann ist dieser zu 90% erreicht?

- 80 • e^-0,05·x  + 80  = 0,9 • 80

e^-0,05·x  =  0,1

x = - ln(0,1) / 0,05 ≈ 46,1 [Minuten]

Gruß Wolfgang