Wie viele { }^{14} {C} -Atome lagen in einem {g} Kohlenstoff dieses Leichnams noch vor? Expotenzialfunktion Wachstum

Question

Im Jahr 1991 haben Wanderer in den Ötztaler Alpen eine Gletscherleiche gefunden. Der Fundort brachte der Leiche sehr schnell den Namen Ötzi.
Mit Hilfe der Radiocarbon-Methode wurde das Alter von Ötzi bestimmt. Demnach war der Fund ca. 5200 Jahre alt.
a) Wie viele \( { }^{14} \mathrm{C} \)-Atome lagen in einem \( \mathrm{g} \) Kohlenstoff dieses Leichnams noch vor?
b) Wie viele Atome werden noch nach insgesamt 10000 Jahren vorliegen?
c) Wie alt ist ein Organismus ungefähr, wenn noch \( 10 \% \) der ursprünglichen \( { }^{14} \mathrm{C} \)-Atome vorliegen?
Erläutere deinen Lösungsweg

Answer 1

a)
¹⁴C zerfällt mit einer Halbwertszeit von ca. 5730 Jahren. Das führt zu folgender Zerfallsfunktion:

Restmenge(t) = Anfangsmenge*(1/2)^(t/5730), t in Jahren

relative Restmenge(t) = (1/2)^(t/5730), t in Jahren

relative Restmenge(5200) = (1/2)^(5200/5730) ~ 0.533 (53.3%)

b)

relative Restmenge(10000) = (1/2)^(10000/5730) ~ 0.298 (29.8%)

c)

(1/2)^(t/5730) < 0.1 ?

ln ( (1/2)^(t/5730) ) < ln ( 0.1 )

t/5730 * ln ( 1/2 ) < ln ( 0.1 )

t > ln ( 0.1 ) / ln ( 1/2 ) * 5730 ~ 19034.6 Jahre