Zerfallsprozess radioaktiver Kohlenstoff

Question

Ich benötige Hilfe beim Lösen der Aufgabe (s. Anhang).

Also ich komme nur zu folgenden Schritten:

λ= ln(2)/5736=1,2*10^-4

Funktion: e^{-1.2*10^-4  * t}

Kann mir bitte jemand weiterhelfen? 

Answer 1

0,333= 0,5^{t/5736}

ln 0,333 = t/5736*ln0,5

t= 9099,62

0,327 = 0,5^{t/5736}

t= 9250,01

Comments

33%-0.3%=0.327≠0,27

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Danke. Sorry, ich habe mit - 3% gerechnet. Werde edieren. .)

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Komisch, trotzdem ist noch eine Diskrepanz zwischen den Lösungen vorhanden...

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Ich habe nicht gerundet  beim Zerfallsfaktor. :)

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Stimmt! [Fülltext]

Answer 2

Der Anteil an Radiokohlenstoff in Lebewesen ist zunächst fast so wie in der Atmosphäre. Es gilt folgendes Zerfallsgesetz:$$\left(\frac{^{14}C}{^{12}C}\right)=\left(\frac{^{14}C}{^{12}C}\right)_{\text{Luft}}\cdot e^{-\lambda_{14}t} \quad  \text{mit}\quad  \lambda_{14}=1.21\cdot 10^{-4}\frac{1}{a}$$ Isotopenuntersuchen zeigen, dass der Anteil am Gesamtkohlenstoff in der Luft für \(^{12}C=98.89\%\) und \(^{14}C=10^{-10}\%\) beträgt. Setzen wir in die Formel ein:$$\left(\frac{^{14}C}{^{12}C}\right)=\left(\frac{10^{-10}\%}{98.89\%}\right)\cdot e^{-\lambda_{14}t}$$ Außerdem wissen wir, dass die Mumie nur noch \(33\%±0.3\%\) davon enthält:$$\left(\frac{10^{-10}\%}{98.89\%}\right)\cdot (33\% \pm0.3\%)=\left(\frac{10^{-10}\%}{98.89\%}\right)\cdot e^{-1.21\cdot 10^{-4}t}$$ Nach \(t\) umstellen: Du kannst vorab \(\left(\frac{10^{-10}\%}{98.89\%}\right)\) wegstreichen, weil es auf beiden Seiten ist:$$ (33\% \pm0.3\%)=e^{-1.21\cdot 10^{-4}t}  \quad |\ln(...)$$$$ \ln(33\% \pm0.3\%)=\underbrace{\ln(e)}_{\text{=1}}\cdot (-1.21\cdot 10^{-4}t)$$$$\ln(33\% \pm0.3\%)=-1.21\cdot 10^{-4}t  \quad |:(-1.21\cdot 10^{-4})$$$$\frac{\ln(33\% \pm0.3\%)}{-1.21\cdot 10^{-4}}=t $$ Einmal mit \(+\) und einmal mit \(-\) rechnen und du erhältst:$$t_{33.3\%}\approx 9087.709a$$$$t_{32.7\%}≈ 9237.9761a$$

Answer 3

Hallo Samira,

wenn x das Alter der Mumie in Jahren ist, dann ist sie  x / 5736  Halbwertszeiten alt.

Für den prozentualen Anteil p von ¹⁴C  ergibt sich deshalb jeweils

$$p(x)=0,5^{\frac{x}{5736}}$$ Das ergibt (#) für das Zeitintervall

\(0.333 = 0,5^{\frac{x}{5736}}\)  →    x₁  ≈ 9100 [Jahre]

\(0.327 = 0,5^{\frac{x}{5736}}\)  →    x₂  ≈ 9250 [Jahre]

Genauere Zahlenangaben machen wohl keinen Sinn

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(#)

a^x = b kannst du ja wohl nach x auflösen:

x · ln(a) = ln(b)   ....

Gruß Wolfgang