Tropfinfusion: Berechnen Sie den Anfangswert sowie die Menge nach 5 und nach 10 Minuten

Question

Einem Patienten wird durch eine Dauertropfinfusion eine gleichbleibende Menge eines Medikaments verabreicht, das bis dahin nicht in seinem Körper vorhanden war. Bei diesem Vorgang wird einerseits das Medikament im Blut angereichert, andererseits wird ein Teil wieder uber die Nieren ausgeschieden. Insgesamt liegt für die Menge des Medikaments im Blut zum Zeitpunkt t ein beschränktes Wachstum vor: \( f(t)=G-(1-q)^{t}\left(G-f_{0}\right) \) mit \( G=80 \mathrm{mg} \). Nach einer Minute sind \( 3,8 \mathrm{mg} \) des Medikaments im Blut der Patientin.

Berechnen Sie den Anfangswert \( f_{0} \) sowie die Menge nach 5 und nach 10 Minuten. Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion.

q und f0 ist unbekannt, wie löse ich das denn hier?

Also ich komm mal auf:

3,8=80-(1-q)^1*(80-f0)

Und jetzt habe ich 2 Variablen, aber nur eine Gleichung.

Answer 1

Nun, da das Medikament zu Beginn der Behandlung nicht im Körper vorhanden war, dürfte der Anfangswert f0, also die Menge des im Körper zum Zeitpunkt t=0 vorhandenen Medikamentes f0 = f ( 0 ) = 0 gewesen sein. Somit erhält man:

f ( t ) = 80 - ( 1 - q ) ^t * ( 80 - 0 ) = 80 - ( 1 - q ) ^t * 80

= 80 ( 1 - ( 1 - q ) ^t )

Da zum Zeitpunkt t = 1 min 3,8 mg vorhanden sind, ergibt sich:

3,8 = 80 ( 1 - ( 1 - q ) ) = 80 * q

<=> q = 3,8 / 80 = 0,0475

Somit lautet die Funktion:

f  ( t ) = 80 * ( 1 - ( 1 - 0,0475 ) ^t ) = 80 ( 1 - 0,9525 ^t )

 

Für t = 5 erhält man damit:

f  ( 5 ) = 80 ( 1 - 0,9525 ⁵ ) = 17,28 mg

und für t = 10:

f ( 10 ) = 80 ( 1 - 0,9525 ¹⁰ ) = 30,63 mg

 

Skizze der Funktion:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+80%281-0.9525%5Et%29from0to80

Comments

80 ( 1 - ( 1 - q ) ^t )


wie kommst du hier auf das zusätzliche 1- ?? (hab es dick makiert) und was passietr mit dem -80 ?

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> wie kommst du hier auf das zusätzliche 1- ??

Nun, ich habe einfach die 80 ausgeklammert:

80 - ( 1 - q ) ^t * 80

[Faktoren vertauschen:] 

= 80 - 80 * ( 1 - q ) ^t

[80 ausklammern nach dem Muster: a - a * b = a * ( 1 - b ) :]

= 80 * ( 1 - ( 1 - q ) ^t )

Multipliziere diesen Term aus und du wirst sehen, dass sich wieder der ursprüngliche Term von oben ergibt.

> was passietr mit dem -80 ?

 - 80 habe ich nirgends geschrieben ... was genau meinst du?